Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Řešený příklad: vyčíslení derivace implicitní funkce

Pomocí derivace implicitní funkce najdeme směrnici tečny ke křivce x²+(y-x)³=28 v bodě x=1. Tvůrce: Sal Khan.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Sice jsme už počítali spoustu příkladů na derivaci implicitní funkce, avšak ještě jsme pomocí ní nenašli směrnici tečny v daném bodě. A to bude cílem tohoto videa. Pro danou rovnici budeme chtít najít směrnici tečny pro x rovno 1. Všimněme si, při implicitním derivováním budeme pracovat s funkcí proměnných x a y. Proto je třeba zjistit, jaké hodnoty bude nabývat y, pro x rovno 1. Tak to prozkoumejme. Pro x rovno 1, zde obdržíme následující: 1 na druhou, což je 1, plus třetí mocnina rozdílu y a 1, a to celé rovno 28. Odečtěme 1 od obou stran. Máme třetí mocninu rozdílu y a 1 je rovna 27. Proveďme třetí odmocninu. Dostaneme, že y minus 1 je 3, tedy y je rovno 4. Budeme tedy chtít nalézt směrnici tečny v bodě [1; 4]. Což je zde. Chceme zjistit směrnici tečny v tomto bodě. Začněme s implicitním derivováním obou stran této rovnice. Derivace x na druhou podle x je 2x. Derivace ‚něčeho‘ na třetí podle x bude následující: 3 krát ‚něco‘ na druhou krát derivace ‚něčeho‘ podle x. Čemu je rovna derivace toho ‚něčeho‘ podle x? Derivaci y podle x pouze opíšeme a derivace x podle x je 1. Jelikož derivace konstanty je 0, tak napravo dostaneme 0. Zbývá zjistit, čemu je rovna derivace y podle x. 2x opíšeme. Nyní tento součin roznásobíme. Dostaneme 3 krát rozdíl y a x na druhou krát derivace y podle x. A od toho odečteme 3 krát rozdíl y a x na druhou. To celé je pak rovno 0. Nyní dostaňme toto, odečtením od obou stran rovnice, na druhou stranu. Nalevo pak zůstane 3 krát rozdíl y a x na druhou krát derivace y podle x. Napravo pak bude 3 krát rozdíl y a x na druhou minus 2x. Vyjádření derivace y podle x jsme počítali již mnohokrát. Vyjádříme derivaci y vzhledem k x. To je rovno 3 krát y minus x na druhou minus 2x, kde to celé vydělíme 3 krát rozdíl y a x na druhou. Pro nalezení derivace y podle x v daném bodě stačí substituci do výrazu, kde položíme x rovno 1 a y rovno 4. V čitateli dostaneme 3 krát rozdíl 4 a 1 na druhou minus 2 krát 1. Ve jmenovateli pak máme 3 krát rozdíl 4 a 1 na druhou. V čitateli dostaneme 27 minus 2 což je 25. Ve jmenovateli pak obdržíme 27. Hledaná směrnice tečny je 27 lomeno 25. Tedy téměř 1. Což je i patrné na obrázku. Nakonec poznamenejme, že obrázek grafu křivky je z programu Wolfram Alpha. Snad jste se něco naučili.