Řešený příklad: vyčíslení derivace implicitní funkce

Sice jsme už počítali spoustu příkladů na derivaci implicitní funkce, avšak ještě jsme pomocí ní nenašli směrnici tečny v daném bodě. A to bude cílem tohoto videa. Pro danou rovnici budeme chtít najít směrnici tečny pro x rovno 1. Všimněme si, při implicitním derivováním budeme pracovat s funkcí proměnných x a y. Proto je třeba zjistit, jaké hodnoty bude nabývat y, pro x rovno 1. Tak to prozkoumejme. Pro x rovno 1, zde obdržíme následující: 1 na druhou, což je 1, plus třetí mocnina rozdílu y a 1, a to celé rovno 28. Odečtěme 1 od obou stran. Máme třetí mocninu rozdílu y a 1 je rovna 27. Proveďme třetí odmocninu. Dostaneme, že y minus 1 je 3, tedy y je rovno 4. Budeme tedy chtít nalézt směrnici tečny v bodě [1; 4]. Což je zde. Chceme zjistit směrnici tečny v tomto bodě. Začněme s implicitním derivováním obou stran této rovnice. Derivace x na druhou podle x je 2x. Derivace ‚něčeho‘ na třetí podle x bude následující: 3 krát ‚něco‘ na druhou krát derivace ‚něčeho‘ podle x. Čemu je rovna derivace toho ‚něčeho‘ podle x? Derivaci y podle x pouze opíšeme a derivace x podle x je 1. Jelikož derivace konstanty je 0, tak napravo dostaneme 0. Zbývá zjistit, čemu je rovna derivace y podle x. 2x opíšeme. Nyní tento součin roznásobíme. Dostaneme 3 krát rozdíl y a x na druhou krát derivace y podle x. A od toho odečteme 3 krát rozdíl y a x na druhou. To celé je pak rovno 0. Nyní dostaňme toto, odečtením od obou stran rovnice, na druhou stranu. Nalevo pak zůstane 3 krát rozdíl y a x na druhou krát derivace y podle x. Napravo pak bude 3 krát rozdíl y a x na druhou minus 2x. Vyjádření derivace y podle x jsme počítali již mnohokrát. Vyjádříme derivaci y vzhledem k x. To je rovno 3 krát y minus x na druhou minus 2x, kde to celé vydělíme 3 krát rozdíl y a x na druhou. Pro nalezení derivace y podle x v daném bodě stačí substituci do výrazu, kde položíme x rovno 1 a y rovno 4. V čitateli dostaneme 3 krát rozdíl 4 a 1 na druhou minus 2 krát 1. Ve jmenovateli pak máme 3 krát rozdíl 4 a 1 na druhou. V čitateli dostaneme 27 minus 2 což je 25. Ve jmenovateli pak obdržíme 27. Hledaná směrnice tečny je 27 lomeno 25. Tedy téměř 1. Což je i patrné na obrázku. Nakonec poznamenejme, že obrázek grafu křivky je z programu Wolfram Alpha. Snad jste se něco naučili.