Řešený příklad: derivace implicitní funkce

Ukažme si nalezení implicitní derivace v praxi. Budeme chtít najít derivaci y podle x. Předpokládejme, že y je funkcí proměnné x. Zderivujme podle x obě dvě strany rovnice. Nalevo vidíme, že je třeba použít pravidlo o derivaci složené funkce, abychom mohli vypočítat derivaci x minus y na druhou podle x. Dle tohoto pravidla derivujme nejprve ‚něco‘ na druhou podle toho ‚něčeho‘. Čímž dostaneme dvakrát x minus y. To celé vynásobíme derivací ‚něčeho‘ podle x. Derivace x podle x je 1. A derivaci y podle x hledáme, proto ji zatím pouze opíšeme. Ještě si jednou trochu ujasněme, co jsme vlastně provedli. Zde jsme vypočítali derivaci x minus y na druhou podle x minus y. Tento činitel je pak derivace x minus y podle x. Šlo jen o pravidlo o derivaci složené funkce. Podívejme se nyní na pravou stranu rovnice. Derivace x podle x je 1. Derivaci y podle x pouze opíšeme. A konečně, derivace konstanty podle x je 0. Nyní se pokusme nalézt derivaci y podle x vyřešením této rovnice. Toto přepišme jako 2x minus 2y. Poté roznásobme 2x minus 2y s druhou závorkou. 2x minus 2y krát 1 je stále 2x minus 2y. A 2x minus 2y krát minus derivace y podle x je následující: 2y minus 2x to celé krát derivace y podle x. No a napravo je stále 1 plus derivace y podle x. Nyní můžeme například odečíst 2x minus 2y od obou stran rovnice. Pak odečtěme od obou stran také derivaci y podle x. Tím jsme dostali všechny derivace y podle x na levou stranu. Jděme na to. Co nám zbude? Nalevo se toto zkrátí. Zůstane nám součin 2y minus 2x s derivací y podle x minus 1 derivace y podle x. Můžeme jednoduše vytknout derivaci y podle x. Dostaneme součin 2y minus 2x minus 1 s derivací y podle x. Napravo se nám toto odečte. A zbude tam pouze 1 minus rozdíl 2x a 2y. To můžeme napsat například takto: 2y minus 2x plus 1. K nalezení derivace y podle x vydělme obě dvě strany rovnice 2y minus 2x minus 1. Tím jsme hotovi. Jak je vidět, tak nejtěžší bylo algebraicky vyjádřit derivaci y podle x. Derivace y podle x je rovna podílu 2y minus 2x plus 1 a 2y minus 2x minus 1.