Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 3: Derivace implicitních funkcíŘešený příklad: derivace implicitní funkce
Derivace implicitní funkce (x-y)²=x+y-1 Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Ukažme si nalezení
implicitní derivace v praxi. Budeme chtít najít
derivaci y podle x. Předpokládejme, že y je
funkcí proměnné x. Zderivujme podle x obě
dvě strany rovnice. Nalevo vidíme, že je třeba použít
pravidlo o derivaci složené funkce, abychom mohli vypočítat derivaci
x minus y na druhou podle x. Dle tohoto pravidla derivujme nejprve
‚něco‘ na druhou podle toho ‚něčeho‘. Čímž dostaneme
dvakrát x minus y. To celé vynásobíme
derivací ‚něčeho‘ podle x. Derivace
x podle x je 1. A derivaci y podle x hledáme,
proto ji zatím pouze opíšeme. Ještě si jednou trochu ujasněme,
co jsme vlastně provedli. Zde jsme vypočítali derivaci
x minus y na druhou podle x minus y. Tento činitel je pak derivace
x minus y podle x. Šlo jen o pravidlo
o derivaci složené funkce. Podívejme se nyní
na pravou stranu rovnice. Derivace
x podle x je 1. Derivaci y podle x
pouze opíšeme. A konečně, derivace
konstanty podle x je 0. Nyní se pokusme nalézt derivaci
y podle x vyřešením této rovnice. Toto přepišme
jako 2x minus 2y. Poté roznásobme 2x minus 2y
s druhou závorkou. 2x minus 2y krát 1
je stále 2x minus 2y. A 2x minus 2y krát minus derivace
y podle x je následující: 2y minus 2x to celé krát
derivace y podle x. No a napravo je stále
1 plus derivace y podle x. Nyní můžeme například odečíst
2x minus 2y od obou stran rovnice. Pak odečtěme od obou stran
také derivaci y podle x. Tím jsme dostali všechny
derivace y podle x na levou stranu. Jděme na to. Co nám zbude? Nalevo se toto zkrátí. Zůstane nám součin 2y minus 2x s derivací
y podle x minus 1 derivace y podle x. Můžeme jednoduše
vytknout derivaci y podle x. Dostaneme součin 2y minus 2x
minus 1 s derivací y podle x. Napravo se nám toto odečte. A zbude tam pouze
1 minus rozdíl 2x a 2y. To můžeme napsat například
takto: 2y minus 2x plus 1. K nalezení derivace y podle x vydělme obě
dvě strany rovnice 2y minus 2x minus 1. Tím jsme hotovi. Jak je vidět, tak nejtěžší bylo
algebraicky vyjádřit derivaci y podle x. Derivace y podle x je rovna podílu
2y minus 2x plus 1 a 2y minus 2x minus 1.