Hlavní obsah

Co jsou to grafy závislosti zrychlení na čase?

Podívej se, co dokážeš zjistit z grafů závislosti zrychlení na čase.

Jaký je význam svislé osy v grafu závislosti zrychlení na čase?

Svislá osa představuje zrychlení tělesa.

Například zjistíš-li hodnotu grafu níže v určitém čase, získáš zrychlení tělesa v metrech za sekundu v daném okamžiku.

Posouváním tečky na grafu níže volíš různé časy. Sleduj, jak se mění zrychlení.

Ověření porozumění: Jaké je podle grafu výše zrychlení v čase

t = 4 s

Jaký je význam sklonu grafu závislosti zrychlení na čase?

Sklon grafu závislosti zrychlení na čase je veličina zvaná ryv. Ryv představuje míru změny zrychlení.

Sklon grafu závislosti zrychlení na čase získáme pomocí vzorce

sklon = \frac{změna ve svislém směru}{změna ve vodorovném směru} = \frac{a_{2} - a_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{Δ a}{Δ t}

, jak znázorňuje graf níže.

Tento sklon, představující míru změny zrychlení, je definicí veličiny ryv.

ryv = \frac{Δ a}{Δ t}

Název ryv zní možná zvláštně, ale popisuje přerývaný pohyb, jehož rychlost se často a prudce mění.

Abychom tento oddíl završili, představme si ryv v následujícím grafu. Posunuj tečkou a sleduj, jak se ryv v různých časech mění.

Ověření porozumění: Je v grafu závislosti zrychlení na čase výše v čase

t = 6 s

ryv kladný, záporný, nebo nulový?

Jaký je význam obsahu plochy pod křivkou grafu závislosti zrychlení na čase?

Obsah plochy pod křivkou grafu závislosti zrychlení na čase představuje změnu rychlosti. Jinak řečeno, obsah plochy pod křivkou grafu závislosti zrychlení na čase v daném časovém intervalu se rovná změně rychlosti v tom daném intervalu.

obsah = Δ v

Tuto myšlenku nejsnáze vysvětlíme pomocí grafu níže, který ukazuje konstantní zrychlení 4

\frac{m}{s^{2}}

trvající 9 s.

Vynásobíme-li obě strany definice zrychlení

a = \frac{Δ v}{Δ t}

změnou času

Δ t

, získáme

Δ v = a Δ t

Dosazením zrychlení 4

\frac{m}{s^{2}}

a časového intervalu 9 s získáme změnu rychlosti:

Δ v = a Δ t = (4 \frac{m}{s^{2}}) (9 s) = 36 \frac{m}{s}

Násobení zrychlení časovým intervalem je to samé, jako výpočet obsahu plochy pod křivkou. Tato plocha je obdélník, jak znázorňuje obrázek níže.

Obsah obdélníku získáme násobením výšky šířkou. Výška tohoto obdélníku je 4

\frac{m}{s^{2}}

a šířka je 9 s. Výpočet obsahu je shodný s výpočtem změny rychlosti.

obsah = 4 \frac{m}{s^{2}} \cdot 9 s = 36 \frac{m}{s}

Obsah plochy pod křivkou grafu závislosti zrychlení na čase odpovídá změně rychlosti pro ten daný časový interval.

Dobrá otázka. Dokázali jsme pouze to, že obsah plochy pod křivkou grafu závislosti zrychlení na čase v daném časovém intervalu je roven změně rychlosti v tom intervalu v případě konstantního zrychlení, ale obsah plochy pod křivkou libovolného grafu závislosti zrychlení na čase odpovídá změně rychlosti, i když zrychlení není konstantní.

Důvodem je, že obsah plochy pod grafem závislosti zrychlení na čase, který se mění, se dá rozložit na maličké, tenoučké obdélníčky podle obrázku níže. Pokud je obdélníček dost úzký, můžeme zrychlení v tom čase považovat za konstantní. Násobením výšky šířkou získáme obsah a změnu rychlosti

Δ v = a Δ t

během každého z časových intervalů. Sečtením plochy všech obdélníčků získáme zhruba plochu pod celou křivkou a celkovou změnu rychlosti v daném časovém intervalu.

Jsou-li šířky obdélníčků nekonečně malé, součet jejich obsahů dá přesně obsah plochy pod křivkou a přesnou hodnotu změny rychlosti. Plocha pod křivkou libovolného grafu závislosti zrychlení na čase tak dává změnu rychlosti. Pokud to zní jako matematické vúdú, je to proto, že vyžaduje matematickou analýzu, konkrétně integrální počet, který nám umožňuje určovat obsahy ploch pod křivkami.

Poznámka: Když řešíš úlohu, nemusíš při hledání plochy pod křivkou dělit plochu na obdélníčky. Protože víme, že vždycky jde o obsah, můžeme jej určit libovolným způsobem, který se nám zrovna hodí. Například v grafu výše jsme prostě mohli k výpočtu obsahu a změny rychlosti použít vzoreček pro obsah trojúhelníku:

\frac{1}{2} krát z á k l a d n a krát v ý š k a

Jak vypadají řešené příklady na grafy závislosti zrychlení na čase?

Příklad 1: Zrychlení závodního auta

Sebejistá automobilová závodnice jede rychlostí 20 m/s. Jak se blíží k cíli, začne zrychlovat. Graf níže zachycuje zrychlení závodního auta v okamžiku, kdy začalo zrychlovat. V čase

t = 0 s

mělo auto rychlost 20 m/s.

Jaká je podle grafu rychlost auta po 8 sekundách zrychlování?

Změnu rychlosti určíme z obsahu plochy pod křivkou grafu závislosti zrychlení na čase.

Δ v = Obsah plochy = \frac{1}{2} krát z á k l a d n a krát v ý š k a = \frac{1}{2} (8 s) (6 \frac{m}{s^{2}}) = 24 m/s (Použijeme vzorec pro obsah trojúhelníku: \frac{1}{2} krát z á k l a d n a krát v ý š k a)

Δ v = 24 m/s (Vypočítáme změnu rychlosti.)

Toto je však pouze změna rychlosti během daného časového intervalu. Ze vzorce pro změnu rychlosti

Δ v = v_{f} - v_{i}

zjistíme, že

Δ v = 24 m/s

v_{f} - v_{i} = 24 m/s (Dosadíme v_{f} - v_{i} místo Δ v .)

v_{f} - 20 m/s = 24 m/s (Dosadíme za počáteční rychlost v_{i} 20 m/s.)

v_{f} = 24 m/s + 20 m/s (Vyjádříme v_{f} .)

v_{f} = 44 m/s (Vyčíslíme a oslavíme!)

Koncová rychlost auta byla 44 m/s.

Příklad 2: Plavba za větru

Plachetnice pluje rovně rychlostí 10 m/s. V čase

t = 0 s

začne vát vítr, který loď urychlí podle grafu níže.

Jaká je rychlost lodi poté, co vítr foukal 9 sekund?

Změnu rychlosti získáme pomocí obsahu plochy pod křivkou grafu. Tu můžeme, podle obrázku níže, rozložit na obdélník a dva trojúhelníky.

Modrý obdélník mezi časy

t = 0 s

t = 3 s

považujeme za kladný, protože se nachází nad vodorovnou osou. Zelený trojúhelník mezi časy

t = 3 s

t = 7 s

také považujeme za kladný, protože se nachází nad vodorovnou osou. Červený trojúhelník mezi časy

t = 7 s

t = 9 s

je záporný, protože se nachází pod vodorovnou osou.

Všechny tyto obsahy sečteme — obdélník určíme pomocí vzorce

v ý š k a krát š í ř k a

a trojúhelník

\frac{1}{2} krát z á k l a d n a krát v ý š k a

— tím získáme celkový obsah mezi časy

t = 0 s

t = 9 s

Δ v = obsah = (4 \frac{m}{s^{2}}) (3 s) + \frac{1}{2} (4 s) (4 \frac{m}{s^{2}}) + \frac{1}{2} (2 s) (- 2 \frac{m}{s^{2}}) (Sečteme obsahy obdélníku a dvou trojúhelníků.)

Δ v = 18 m/s (Určíme celkovou změnu rychlosti.)

Toto je však pouze změna rychlosti, abychom tedy našli koncovou rychlost, užijeme vzoreček pro změnu rychlosti.

v_{f} - v_{i} = 18 m/s (Použijeme definici změny rychlosti.)

v_{f} = 18 m/s + v_{i} (Vyjádříme koncovou rychlost.)

v_{f} = 18 m/s + 10 m/s (Dosadíme počáteční rychlost.)

v_{f} = 28 m/s (Vyčíslíme a oslavíme!)

Koncová rychlost plachetnice je

v_{f} = 28 m/s

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Fyzika - mechanika