Grafy závislosti zrychlení na čase

Tak jo, dnes bych rád mluvil o grafech závislosti zrychlení na čase, protože co se pohybových grafů týče, tyto jsou nejtěžší. Jedním z důvodů je, že zrychlení je samo o sobě pro dost lidí abstraktní pojem. Teď z toho ještě udělají graf. Grafy lidi taky moc nemusí. Řekněme, že chceš zkoumat pohyb tělesa, řekněme tohoto pejska. Toto je moje fenka Daisy. Řekněme, že Daisy zrychlovala. Pokud chceš znát její rychlost, přímo z tohoto grafu ji nepoznáš, pokud nemáš nějaké další informace. Abys určili Daisyinu rychlost v nějakém okamžiku, musíš ji aspoň v jednom bodě znát, abys ji z tohoto grafu mohl vyčíst. Co nám tento graf může o Daisyině pohybu říct? Řekněme, že tento graf popisuje Daisyno zrychlení. Daisy může zrychlovat. Možná aportujeme. Dáme jí míček. Hodíme míček. Doufejme, že ho pustí, až ho přinese. Tento graf bude zobrazovat její zrychlení. Když si tento graf přečteme, vidíme, že v prvních 4 sekundách měla Daisy zrychlení 2 metry za sekundu na druhou, pak kleslo na 0 v 6 sekundách, potom bylo její zrychlení záporné, až bylo -3 v 9 sekundách. Z tohoto nevidíme, jestli zrychlovala, nebo zpomalovala. Co dokážeme zjistit? Něco zjistit můžeme, protože zrychlení má s rychlostí něco společného. Můžeme říct co, když si vzpomeneme, že je definováno jako změna rychlosti dělená změnou času. Teď víme, jak se dostat k rychlosti. Pokud to vyřešíme pro delta v, Δv, dostaneme, že Δv, změna rychlosti během časového intervalu, bude zrychlení během toho času, krát časový interval samotný, jak dlouho to trvalo. To je základ propojení tohoto grafu s rychlostí. Jinak řečeno, podívejme se na první 4 sekundy. Mezi 0 a 4 sekundami měla Daisy zrychlení 2 metrů za sekundu na druhou. To znamená, že 2 bylo zrychlení v metrech za sekundu na druhou, krát čas, čas byl 4 sekundy. To jsou 4 sekundy, během kterých působilo zrychlení. Dostaneš +8. Jaké jsou jednotky? Tato a tato sekunda se vyruší a dostaneš +8 metrů za sekundu. Takže změna rychlosti během prvních 4 sekund byla +8. To není žádná rychlost, je to změna rychlosti. Jak by se to dalo zjistit pro tento šikmý úsek? To je problém. Podívej na toto. Pokud bych chtěl najít rychlost v 6 sekundách, zrychlení tady je 2, ale tady je 1. Zrychlení v tomto bodě je 0. To zrychlení se pořád mění. Jak bych to měl vymyslet? Jaké zrychlení mám v této části dosadit? Máme štěstí. Tento vzoreček nám umožňuje říct něco hodně důležitého. Geometrická podstata těchto grafů nám usnadní život. Usnadní nám ho tím, že… Podívej se na toto. Toto říká zrychlení krát Δt, ale podívej. Zrychlení, které jsme dosadili, bylo 2. První 4 sekundy bylo zrychlení 2. Čas Δt, bylo rovno 4. Vzali jsme tuto 2 a násobili touto 4 a dostali číslo +8. Toto je výška krát šířka. Pokud vezmeš výšku krát šířku, to je přeci obsah obdélníka. Zzjistili jsme obsah tohoto obdélníka. Obsah nám dává naše Δv, protože obsah obdélníka je výška krát šířka. Víme, že výška bude představovat zrychlení tady a šířka bude Δt. Jen z toho, jak jsme zrychlení definovali, víme, že „a krát Δt“ musí být změna rychlosti. Obsah a změna rychlosti jsou v tomto grafu jedno a totéž. Obsah je změna rychlosti. Toto bude opravdu užitečné, protože když se dostaneme sem, obsah bude zase totéž co změna rychlosti. To je užitečné, protože umím vypočítat obsah trojúhelníka. Obsah trojúhelníka je prostě 1/2 základny krát výška. Není pro mě snadné si poradit s proměnlivým zrychlením, ale umím spočítat obsah. Například obsah tady, i když mám 1/2, základna jsou 2 sekundy, výška bude +2 metry za sekundu na druhou. Co dostaneme? Jedna z polovin se vyruší. Tedy, polovina se vyruší s jednou z dvojek a já dostanu, že se to rovná 2 metry za sekundu. To bude obsah odpovídající změně rychlosti. Takže Daisyina rychlost se během tohoto času změnila o 2 metry za sekundu. Teď můžeš namítat: „Počkat, toto tady beru, protože výška krát šířka je to samé co 'a krát Δt', ale trojúhelník se navíc násobí půlkou, tady žádná půlka není. Jak můžeš tvrdit to, co tvrdíš?“ Můžeme to tvrdit, protože uděláme to samé co předtím. Můžeme si představit… Představme si tu obdélník. Odhadneme obsah pomocí několika obdélníků. Potom tento obdélník, a tento… Vypadá to strašlivě. To vůbec nevypadá jako obsah trojúhelníka. Má to všechny tyto kousky navíc, že? To tam nechceme. Dobře, souhlasím. To moc dobře nefunguje. Udělejme je menší, užší. Uděláme takový obdélníček. Vidíš, že je to lepší. Toto je určitě blíž. Není to tak špatné, jako ten předchozí, ale pořád to není přesné. Souhlasím, že to není přesné, uděláme tedy ještě menší obdélníčky, všechny mají stejnou šířku, ale jsou menší než ty předchozí. Teď už jsme opravdu blízko. Tato plocha bude hodně blízká obsahu trojúhelníka. Důležité je, že pokud je uděláš nekonečně malé, budou se přesně shodovat s obsahem trojúhelníka. V tomto vzorečku najdete každý z nich. Pro každý z nich bude Δv rovno obsahu… Omlouvám se. Výška daná zrychlením krát nekonečně malá šířka. Dostaneš celkové Δv, které je celkovou plochou. Zkrátka, obsah v grafech závislosti zrychlení na čase udává změnu rychlosti. To si zapamatuj. To je nejdůležitější na grafu zrychlení, často to nejužitečnější, záleží na tom, co hledáš. Proč nám vůbec záleží na změně rychlosti? Protože nám umožňuje najít rychlost samotnou. Jen musíme znát rychlost v jednom bodě, pak můžeme zjistit rychlost v libovolném bodě. Například, co kdybych vám řekl Daisyinu rychlost. Z nějakého důvodu vytáhnu stopky. Začnu stopovat přesně v tomto čase. V čase t rovno 0 měla Daisy rychlost… Řekněme 1 metr za sekundu. Takto rychle se Daisy pohybuje v čase t rovno 0. To byla její rychlost v čase t rovno 0 sekund. Teď můžu zjistit rychlost kdekoli chci. Pokud chci rychlost ve 4, můžu to zjistit. Abych zjistil rychlost ve 4, můžu říct, že Δv během toho času, těch 4 sekund… Vím, kolik bylo Δv. Δv bylo +8. Vypočítali jsme ten obsah, výška krát šířka. Takže +8 musí být rovno Δv. Co je Δv? To je rychlost ve 4 sekundách minus rychlost v 0 sekundách. To musí být +8. Vím, jaká byla rychlost v 0 sekund. To bylo 1. Takže dostaneme, že rychlost v čase 4 sekundy, minus 1 metr za sekundu se rovná 8 metrů za sekundu. Dostanu, že rychlost ve 4 sekundách byla +9 metrů za sekundu. Ty na to: „Páni, to bylo těžké, to nechci dělat pořád.“ Taky bych to nechtěl dělat pořád, tady je tedy rychlejší způsob. Můžeme udělat toto. S jakou rychlostí jsme začali? To bylo 1. Jaká byla změna rychlosti? To bylo +8. Jaká je tedy naše konečná rychlost? 1 plus 8 nám dá konečnou rychlost. Je to +9. Jen vezmeme tuto změnu rychlosti danou tímto obsahem, který představuje změnu rychlosti, a přidáme ji k naší původní rychlosti, abychom zjistili tu konečnou rychlost. Například, kdyby to nedávalo smysl… Pokud chceme zjistit rychlost v 6, musíme říct, že začneme na 't rovno 4 sekundy' s rychlostí +9. Začneme tady na +9. Naše změna je také kladná, skončíme tedy s +11 metry za sekundu. Můžeš namítat: „Zadrž, pokud chceme Δv a toto je +2, nemělo by Δv být toto všechno od 0 do 6 sekund? Neměla by to být rychlost v 6 sekundách minus rychlost v 0, což by bylo rovno +2 metry za sekundu?“ To nemůžu udělat. Důvod, proč nemůžu, je… Podívej, co jsem udělal nalevo. Časový interval jde od 0 do 6, ale na pravé straně mám jen obsah od 4 do 6. Toto je obsah, je tu ten žlutý obdélník. Pokud bych chtěl doleva dát 6 a 0, mohl bych to udělat, ale pro celkovou plochu bych to nepoužil. Musel bych použít celkovou plochu. Jinak řečeno, celkovou plochu od 0 do 6, protože tak to definuji na této straně. Ty strany musí navzájem souhlasit. Od 0 do 6 by moje celková plocha byla… Tato plocha byla 8, že? Zjistili jsme, že obdélník je 8. Tento obsah byl 2. Moje celková plocha by byla 10. To bych mohl udělat, kdybych chtěl. Mohl bych říct, že rychlost v 6 minus rychlost v 0 byla… Rychlost v 0 jsme říkali, že je 1, protože to jsem zadal. …je rovno 10 metrům za sekundu. Dostanu, že rychlost v 6 bude 11 metrů za sekundu, stejně jako mi to vyšlo předtím. Pořád to můžeš dělat takto matematicky, ale musíš zajistit, aby na obou stranách souhlasily intervaly. Teď pojďme na poslední část. Umíme najít tento obsah. Obsah vždy představuje plochu od křivky k vodorovné ose. V tomto případě je pod vodorovnou osou. To znamená, že dává záporný obsah. Důvodem je… Je to trojúhelník. 1/2 krát základna krát výška. Takže 1/2, základna je 1, 2, 3 sekundy. Výška je -3, tentokrát záporná, -3 metry za sekundu na druhou. Vyjde mi, že celková plocha je -4,5 metrů za sekundu. Dobrá, teď bude mít Daisy změnu rychlosti odpovídající -4,5. Pokud chceme zjistit rychlost v 9, můžeme to dělat několika způsoby. Teoreticky můžeme říct, že Daisy začala v 6 sekundách s rychlostí 11 metrů za sekundu. Její změna během tohoto času byla -4,5. Pokud ta dvě čísla sečteš, přidáš změnu k počáteční hodnotě. Když sečteš 11 a -4,5, dostanete +6,5 metrů za sekundu. Pokud to znělo jako matematické zaklínadlo, můžeš říct, že se Δv rovná -4,5 metrů za sekundu. Δv by bylo, a tady pozor… Těchto -4,5 představuje tento trojúhelník, je to tedy Δv mezi 6 a 9. Rychlost v 9 s minus rychlost v 6 s musí být -4,5 metrů za sekundu. Rychlost v 9 s minus… Rychlost v 6 známe, to bylo 11. …-11 metrů za sekundu, to je rovno -4,5. Páni, došlo nám místo. Rychlost v 9 by byla -4,5 plus 11. To jsme udělali tady. Vyšlo nám 6,5 metrů za sekundu, což odpovídá tomu, co jsme řekli předtím. Výpočet obsahu dá změnu rychlosti. Pak, když znáš rychlost v jednom čase, můžeš ji zjistit pro libovolný okamžik. Jenom buď opatrný. Ujisti se, že na obou stranách počítáš se správnými časovými intervaly. Musí si odpovídat. Ještě jedna věc, než půjdeš. Sklon těchto grafech má často nějaký význam. To platí i pro tento graf. Sklon tohoto grafu. Zkusme zjistit, co znamená. Sklon grafu závislosti zrychlení na čase. Sklon počítáme jako změnu ve svislém směru děleno změnou ve vodorovném směru. Změna ve svislém směru je y2 minus y1, to celé děleno x2 minus x1. Místo ‚y‘ a ‚x‘ máme ‚a‘ a ‚t‘. Budeme mít a2 minus a1, to celé děleno t2 minus t1. To bude Δa, změna zrychlení v čase. Co to je? Je to míra změny zrychlení. To je ještě o krok dál než to, s čím jsme pracovali doteď, že? Rychlost je změna polohy v čase. Zrychlení je změna rychlosti v čase. Teď říkáme, že něco je změna zrychlení v čase. Co to je? Tomu se říká ryv. Tak se to jmenuje. Není to moc často používané. Popravdě to není nejužitečnější kinematická veličina, kterou kdy potkáš, v testech se na ni nikdo ptát nebude, ale někdy má své využití a jmenuje se ryv. Takže, abychom si to zopakovali. Obsah – důležité je, že obsah pod grafem závislosti zrychlení na čase dává změnu rychlosti. Jakmile znáš rychlost v libovolném bodě, můžeš najít rychlost v jiných bodech. Sklon grafu závislosti zrychlení na čase dává ryv.