Tvary a vlastnosti kvadratických funkcí

Máme tady kvadratickou funkci f(x) se rovná x na druhou minus 5x plus 6. A my bychom si ji rádi dneska převedli do dalších tvarů, které nám podají nějaké nové informace. Chtěli bychom ji převést do tvaru, ze kterého bychom dokázali vyčíst průsečíky s osou x, grafem této kvadratické funkce bude parabola, tedy kde bude protínat osu x, ve kterých bodech. A pak bychom chtěli ještě najít tvar, ze kterého vyčteme minimální hodnotu funkce f(x), neboli zaměříme-li se zase na tu parabolu, ze kterého vyčteme souřadnice vrcholu té paraboly této funkce. Takže jenom pro představu, když si to třeba takto načrtnu, tady budu mít nějakou parabolu, tak my bychom chtěli najít ty průsečíky s osou x této paraboly a potom minimální hodnotu funkce, tedy souřadnice vrcholů paraboly. To video si zastavte a zkuste si to sami. A my teď na to půjdeme zase jako vždy společně. Když hledáme průsečíky s osou x, tak y-ová souřadnice, v tomto případě, nebo hodnota y, hodnota funkce, je v těchto bodech nula, takže stačí tuto pravou stranu položit rovnu nule a pak už s tím budeme zacházet jako s kvadratickou rovnicí. A asi bude nejjednodušší rozložit si to na součin a z toho vyčíst ty kořeny a tím pádem i průsečíky s osou x. Už to známe, a krát b se má rovnat 6 a a plus b se má rovnat minus 5. Vidíme, že součin je kladný, tedy a a b budou mít stejná znaménka, ale součet je záporný, takže budou obě dvě záporná. Určitě mi dáte za pravdu, že se nám tady bude hodit minus 2 a minus 3, takže by to vlastně bylo x minus 2 krát x minus 3 je rovno nule. My si tu funkci můžeme přepsat jako f(x) je rovno x minus 2 krát x minus 3. To je ten další tvar, do kterého jsme to chtěli dostat. Kdy bude toto nulové? Abychom tedy měli ty průsečíky. Když se buď jedna nebo druhá závorka u toho součinu bude rovnat nule. Takže když x minus dva se bude rovna nule nebo x minus tři se bude rovnat nule, takže když x bude rovno dvěma nebo x bude rovno třem. Teď jsme našli pomocí tohoto tvaru průsečíky s osou x. Můžeme si to zkusit tady rychle načrtnout. Takže tady budeme mít 1, 2, 3, 1, 2, 3. Toto je naše osa x. Toto je naše osa y se rovná f(x). A víme, že ta parabola bude protínat osu x v bodech 2 a 3. To je tady takto. Pojďme ještě na ten další tvar, o kterém jsem mluvila, ze kterého vyčteme souřadnice vrcholu té paraboly, která bude tady někde na tom grafu. A na to použijeme takzvané doplnění na čtverec. Já to tady budu dělat hodně rychle a nebudu to dopodrobna vysvětlovat. Takže pokud vám doplnění na čtverec nic neříká, máme na to tady hodně videí, tak si to v klidu projděte vlastním tempem a pak se k tomuto videu vraťte. Chceme doplnění na čtverec, takže f(x) se bude rovnat x na druhou minus 5x, tady ještě něco bude, takže si tu plus šestku dám tady. No a já bych chtěla tady doplnit na čtverec, takže tady budu potřebovat přičíst nějakou hodnotu, abychom nezměnili tady tuto rovnost, tak když tady něco přičteme, tak buď to přičteme i k levé straně, toto úplně tedy dělat nechceme, ale druhou možností tedy je, že když tady něco přičtu, tak to tady ještě znovu odečtu. Teď použiji to doplnění na čtverec. Pokud vám to nic neříká, ještě jednou, koukněte na jiná videa. Takže, tady je koeficient minus 5. Potřebuji polovinu z toho koeficientu, což je minus 5 polovin, a to umocním na druhou. Takže minus 5 polovin na druhou. To je dvacet pět čtvrtin. Takže tady budu přičítat dvacet pět čtvrtin. A tady je zase na konci odečtu, abych nezměnila rovnost. Takže toto můžu přepsat, když už jsme si doplnili na čtverec. Tady tuto svorku můžu přepsat jako x minus 5 polovin to celé na druhou, a tady máme plus 6, to je 24 čtvrtin minus 25 čtvrtin + 24 minus 25 je minus jedna čtvrtina. Pokud toto bylo rychlé, koukněte na jiná videa. A teď už jsme se dostali do toho tvaru, ve kterém jsme to chtěli mít. My hledáme minimální hodnotu funkce f(x). A kdy toto bude mít minimální hodnotu? Hodnota tohoto členu bude vždy nezáporná, protože umocňujeme na druhou. Takže minimální hodnota tady je rozhodně nulová, je nula. A kdy tady nastane nula? Když x minus 5 polovin se bude rovnat nule a tedy x se bude rovnat 5 polovin. Tady máme x-ovou souřadnici. Jaká bude tedy ta minimální hodnota té funkce? Jak už jsme řekli, že tady to bude nula, takže to bude nula minus jedna čtvrtina. Takže minimální hodnota té funkce bude minus jedna čtvrtina, což je vlastně naše y-ová souřadnice, takže vrchol té paraboly bude ležet v bodě x bude pět polovin a y bude minus jedna čtvrtina. To se nám podařilo hezky spočítat a teď si to můžeme ještě zakreslit tady do toho grafu. Jedna, takže tady je minus jedna někde, minus jedna čtvrtina je někde dejme tomu tady, souřadnice jsou 5 polovin, dvě a půl, přesně tady mezi a minus jedna čtvrtina, takže někde tady zhruba. Kdybychom si chtěli tu parabolu trošku představit, tak by to mohlo vypadat nějak takto a to se nám podařilo vyčíst z těch dvou různých tvarů, tady jsme si našli průsečíky s osou x a pomocí doplnění na čtverec se nám podařilo najít souřadnice vrcholu paraboly.