Porovnávání maximálních bodů kvadratických funkcí

Která z uvedených kvadratických funkcí má nejnižší maximum? Máme tady tři funkce f(x), g(x) a h(x), každou zadanou nějakým jiným způsobem. A máme zjistit, která z nich má nejnižší maximum. Tak začneme tou asi nejjednodušší funkcí, h(x), ta je zadaná grafem a tady je to hezky vidět. Takže my hledáme vrchol paraboly, protože v tom vrcholu bude mít ta funkce h(x) maximum. A ten vypadá, že je někde tady, když x se rovná čtyři, tak y-ová hodnota, neboli hodnota funkce h(x), je minus jedna. Takže maximum funkce h(x) je -1. To bylo jednoduché. Teď koukneme na tu funkci g(x). Ta je zadaná nějakými body a hodnotami. Vidíme, že to je hezky souměrné, je to tedy nečekaně parabola zase. A vidíme, že maxima nabývá tady v bodě x = 0 a je to 5, takže maximální hodnota funkce g(x) je 5. A teď tady máme funkci f(x). Tady už to tak jednoduše neodečteme jenom z toho zápisu. Já ji tedy opíšu bokem, protože ji budeme muset trošku upravit, abychom na to přišli. Možná už vás napadlo, co s tou kvadratickou funkcí udělat, abychom jednoduše vyčetli maximum. Pokud ne, poradím vám, pomůže nám doplnění na čtverec. Ale než začneme doplňovat na čtverec, tak se ještě podíváme. Já tady vidím tady to záporné znaménko u toho kvadratického členu, to moc nemáme rádi, takže si ho vytkneme, ať se nám s tím lépe pracuje. Minus 6x plus jedna. Teď už pojďme použít to doplnění na čtverec, o kterém jsem mluvila. Pokud vám to nic neříká, tak koukněte na nějaké video, článek, cvičení, které tady máme o tom doplnění na čtverec. Ale já tady budu předpokládat, že tušíte, o co půjde. Takže. Tady budeme mít x na druhou minus 6x. A teď potřebujeme něco přičíst, abychom to doplnili na ten čtverec. Tady máme koeficient minus 6, vydělíme dvěma, to je minus 3 na druhou, to je 9. Takže + 9. Tady nám zbylo plus jedna. A my nemůžeme jen tak něco přičíst a nechat to tak. To by nám potom neplatila ta rovnost, takže když jsme něco přičetli, tak to musíme ještě i odečíst, čímž nezměníme hodnotu té rovnosti, bude nám stále platit. Teď si říkáte, proč tady něco přičítáme a odečítáme jen tak. Ale to je právě to ono doplnění na čtverec, kdy toto fialové můžeme přepsat jako x minus 3 na druhou. Nevěříte-li mi, můžete si to zkusit roznásobit, dostanete opravdu toto. Takže máme x minus tři na druhou a v závorce nám ještě zbude minus 9 plus jedna, což je minus 8. Teď už můžeme zase zpátky roznásobit tím znaménkem, takže dostaneme minus x minus 3 to celé na druhou plus 8. A z tohoto tvaru my už jsme schopní to maximum vyčíst. A jak? Tady to bude vždy plus 8, konstanta. A tady máme první člen. x minus tři na druhou bude vždy nezáporné, buď nula nebo nějaké kladné číslo, nějaká kladná hodnota. Ale máme tady před tím ještě znaménko minus, takže celá ta hodnota tohoto členu bude vždy buď nula, nebo nějaká záporná hodnota, protože umocníme na druhou dostaneme kladnou hodnotu, ale dáme před ní znaménko minus, takže nám z toho vyjde hodnota záporná. My hledáme maximum funkce. Když tento člen bude buď nula nebo záporný, tak buď nám tady zbude jen ta osmička, nebo od ní budeme ještě něco odečítat. My hledáme maximum, tudíž bychom ideálně od ní rádi neodečetli nic. Takže maximum této funkce nastane, když tento člen bude roven nule. To je vlastně v bodě x se rovná 3. Tak potom to bude 3 minus 3, nula, na druhou, minus 0 je stále nula, a hodnota té funkce f(x) v tomto případě bude nula plus 8, a tedy 8. Takže maximum funkce f(x) nastává v bodě x se rovná 3, y se rovná 8. Maximální hodnota funkce je tedy 8. V zadání se nás ptali, která funkce má nejnižší maximum a máme tady minus jedna, 5 a 8, takže nejnižší maximum má funkce h(x).