Určování konstant kvadratických funkcí

Máme tady tři funkce: f(x), g(x) a h(x). A my bychom dnes rádi našli jejich nulové body funkce, kdy ta funkce f(x), g(x) nebo h(x) je rovna nule neboli vlastně průsečíky s osou x, když se podíváme do grafu nebo také kořeny těch rovnic, kterými jsou ty funkce zadané. Pak bychom rádi našli souřadnice vrcholu paraboly, jelikož grafem všech těch funkcí je parabola. A pak bychom si ještě rádi určili nebo také ukázali v grafu osu paraboly, osu každé té jednotlivé paraboly u těch funkcí. Já to napíšu tady vpravo, abychom to nezapomněli. Takže hledáme... Já tu napíšu průsečíky s osou x. To je takové asi nejlépe pochopitelné. Potom souřadnice vrcholu, zkráceně tedy vrchol paraboly a poté osu paraboly. Tyto tři věci bychom rádi určili pro každou z těchto tří funkcí. Tak se na to pojďme podívat. Vy si to samozřejmě prvně vyzkoušejte sami a já budu předpokládat, že už jste to udělali. A kdykoliv v průběhu, když já vám dám nějakou malou nápovědu a vy zjistíte, že asi už víte jak na to, tak si to klidně taky zastavte a dopočítejte. Tak se to totiž člověk naučí nejlépe. Funkce f(x). F(x) je rovno (x - 5), to celé na druhou, minus 9. Průsečíky s osou x, neboli kdy se f(x) bude rovnat nule. Takže tuto pravou stranu položíme rovno nule. X minus 5, to celé na druhou, minus 9 se má rovnat nule. Přičteme si devítku k oběma stranám, x minus 5, to celé na druhou, se má rovnat devíti. Když si odmocníme obě dvě strany, tak dostaneme, že x minus 5 se má rovnat, teď pozor, odmocňujeme devítku, takže tam máme dvě možnosti. X minus 5 se bude rovnat 3 nebo x minus 5 se bude rovnat minus 3. Na to nezapomínejte. Není to jenom trojka, ale je to i minus trojka. Samozřejmě. X minus 5 se rovná 3, přičtu pětku k oběma stranám. Takže kdy to bude nula to f(x)? Když x se bude rovnat 3 plus 5 je 8, nebo x se bude rovnat minus 3 plus 5, 2. Takže máme kořeny této rovnice, průsečíky s osou x u této funkce, nebo také chcete-li nulové body, kdy f(x) se bude rovnat nule a to je tedy v bodě x se rovná 8, nebo x se rovná 2. Teď bychom rádi zjistili ty souřadnice vrcholů té paraboly. My víme, že x-ová souřadnice vrcholu bude přesně mezi těmito dvěma, protože parabola je symetrická. A jelikož máme tyto dva body, ty průsečíky s osou x, tak víme, že ten vrchol bude ležet mezi. Uděláme tedy jejich průměr, 8 plus 2 to je 10, děleno dvěma, to je 5. Takže x-ová souřadnice vrcholu bude 5 a y-ovou si dočítáme tady, když dosadíme za x. 5 minus 5, to je 0, na druhou, to je stále 0, minus 9, to je minus 9. Vy jste si možná už všimli, že tohle je přesně ten tvar, ze kterého nejlépe vyčteme souřadnice vrcholu. Protože my tady vlastně máme jakoby hlavní koeficient, plus jedna, takže víme, že parabola se nám bude otvírat nahoru, takže její vrchol je vlastně její minimum. A kdy tohle celé bude dosahovat minima? Tohle je na druhou, takže to je vždy nezáporné, takže kladné nebo nula. A my nechceme k té minus devítce přičítat nic, my chceme minimum. Takže by tady měla být nula. A to je když x se rovná 5. 5 minus 5 je 0, jak jsme si řekli. Takže x bude 5. No a když tady bude nula a tady bude minus 9, tak celková y-ová souřadnice, 0 minus 9 bude minus 9. To bylo jen tak v rychlosti. Jenom je důležité si zapamatovat nebo uvědomit, že tohle je právě ten tvar, ze kterého ten vrchol vyčteme úplně jednoduše, vlastně úplně nejlépe. Takže máme ty body, máme vrchol, můžeme si tu parabolu zakreslit. A pak si tam ukážeme tu osu té paraboly. Vrchol v bodě 5 a minus 9, to je tady, a pak průsečíky s osou x, v bodě x je 8 a x je 2, y-ová souřadnice je samozřejmě nulová, když jsou to průsečíky s osou x, to už známe. Tak, tady. Teď si tu paralelu můžeme hezky načrtnout. Nějak zhruba takto. Takže tohle je graf funkce y se rovná f(x). A ještě nám zbývá ta osa paraboly. Osa paraboly prochází vrcholem, logicky. To je přímka kolmá k ose x a prochází vrcholem paraboly. Takže její souřadnice jsou x se rovná 5. Já to ještě dopíšu tady, abychom to měli kompletní, takže osa paraboly má souřadnice x se rovná 5. Je to přímka. Výborně. To bychom měli, f(x). Pojďme se podívat na g(x). G(x) už je zadaná trošku jinak, x plus 2 krát x plus 4. Takže opět to celé položíme rovno nule. A to bude jednoduché. Z toho to vyčteme úplně jednoduše. To je zase pro změnu tvar, ze kterého jednoduše vyčteme ty průsečíky s osou x. Takže toto celé je 0, když x plus 2 je rovno nule, nebo x plus 4 je rovno nule. To je jednoduché. X bude buď minus 2, nebo x bude rovno minus 4. Máme průsečíky s osou x. Body, ve kterých g(x) bude rovno nule. A pustíme se do souřadnic vrcholů. Úplně obdobně, zase x-ová souřadnice bude přesně mezi těmito dvěma, takže průměr, minus dva plus minus 4 to je minus 6, děleno dvěma je minus 3. A y-ovou si tentokrát musíme dopočítat, to z toho nevyčteme, takže si dosadíme za x minus tři, minus tři plus dva, to je minus jedna, krát minus tři plus čtyři, to je jedna, minus jedna krát jedna je minus jedna. Souřadnice vrcholu jsou hotové. Takže si pojďme tu funkci načrtnout. Vrchol v bodě minus tři a minus jedna, přímo tady. Průsečíky s osou x v bodě x je rovno minus 2 a minus 4, takže tady, opět si načrtneme naši parabolu, takže tohle je y je rovno g(x). A ještě si tu jen tak načrtneme osu paraboly, která opět nečekaně prochází vrcholem. Takže osa má souřadnice x je rovno minus 3. Výborně. Máme funkci g(x) a už nám zbývá jenom funkce h. Ta je zadaná opět zase jiným způsobem, x na druhou plus 6x plus 8. Když toto položíme rovno nule, tak to je taková klasická situace, kterou známe u kvadratických rovnic. Ideálně rozložit na součin a z toho pak hezky vyčteme průsečíky s osou x, ty kořeny této rovnice. To už určitě víme, že a plus b by mělo být rovno 6, a krát b by mělo být rovno osmi. To už známe. 8 je buď 1 krát 8, to tady nesedí, nebo 2 krát 4, 2 plus 4 je 6, výborně. Takže to bude 2 a 4. Toto můžeme přepsat jako x plus 2 krát x plus 4, to je rovno nule. A nevím, jestli jste si už všimli, ale tato funkce je úplně totožná s funkcí g(x), jenom je zadaná v jiném tvaru. Kdybyste si toto roznásobili, dostanete toto, g(x) je to stejné jako h(x). Takže nemusíme počítat ani průsečíky s osou x, ani souřadnice vrcholů, ani osu, tady nám stačí si dopsat, že toto je také graf funkce h(x). A nemusíme počítat nic dalšího. Stačí si jenom uvědomit, že to je totožné, jenom je to zadané v jiném tvaru.