If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:7:22

Transkript

Máme tady funkci zadanou kvadratickou rovnicí, tedy máme tady kvadratickou funkci f(x), která je rovna -2x na druhou plus 8x plus 8. A já bych chtěla, abychom našli souřadnice vrcholů paraboly, která je grafem této kvadratické funkce, a k tomu si ještě vyznačili osu paraboly, tedy přímku, podle které je ta parabola souměrná, symetrická. Jenom si zopakujme, jak ta parabola může vypadat. Buď můžeme mít parabolu, která se nám otvírá směrem nahoru takto, je konvexní. Anebo můžeme mít parabolu, která se otvírá směrem dolů, konkávní. A když máme vrcholy té paraboly, tak u této paraboly je ten její vrchol minimum té funkce, a u této paraboly je vrchol maximem, maximální hodnotou té funkce. To, jestli se nám ta parabola bude otvírat nahoru nebo dolů, poznáme podle koeficientu u kvadratického členu. Je-li kladný, pak to bude tento případ, bude se nám parabola otvírat směrem nahoru, a bude-li záporný, jako v tomto případě, bude se nám parabola otvírat směrem dolů. Takže v našem případě je to ten druhý případ, vrchol paraboly, jehož souřadnice chceme najít, bude vlastně maximem té naší funkce. Souřadnice vrcholu, na to máme vzoreček. Ale naučit se jen tak vzorec bezmyšlenkovitě většinou nedává moc smysl. Takže my si to teď ukážeme pomalu a intuitivně, a ten vzoreček si necháme až na úplný konec. Takže jak z tohoto tvaru vyčteme ty souřadnice vrcholu. Já bych to udělala tak, že bych použila takzvané doplnění na čtverec. Pokud vám to nic neříká, na tohle téma tam máme už několik videí, tak si je prohlédněte a pak se sem vraťte. Nebudu to vysvětlovat úplně dopodrobna, proč dělám kroky, které dělám. Takže pokud s tím nejste obeznámeni, tak si to radši projděte. Prvně ale, než začnu doplňovat na čtverec, tak vidím že tu mám u toho kvadratického členu koeficient, který není jedna, a podívám se, jestli bych si ho mohla vytknout, abych se ho zbavila. Vidím, že ano. Takže si můžu vytknout minus dvojku a dostanu x na druhou minus 4x minus 4. A teď už můžu začít s tím doplňováním na čtverec. Minus dvojka nám zůstane a teď, x na druhou minus 4x zůstane, teď tady budu chtít něco přičíst, aby se mi to podařilo doplnit na ten čtverec, minus čtyřka nám zůstane. Ale teď, když tady něco přičítám, tak bych tím pádem tady změnila tu rovnost, takže bych buď musela to stejné přičíst i na levé straně, a to tady úplně nechci dělat, takže když tady něco přičtu, tak to tu potom ještě znovu na konci odečtu, k doplnění na čtverec. Tady je koeficient, tady máme čtyřku, to vydělíme dvěma, dostaneme dva, a to umocňujeme na druhou, což je 4, takže přičítáme čtyřku. A abychom zachovali rovnost, tak tu čtyřku tady ještě odečteme. Ještě jednou. Pokud vůbec nevíte, co jsem tady udělala, tak si projděte videa o doplnění na čtverec. Teď už to pojďme dále upravit. Zjistíme, k čemu nám to vlastně bylo. Tady se nám podařilo doplnit na čtverec, takže tohle je to samé jako x minus 2 to celé na druhou. Pokud mi nevěříte, roznásobte si to tady pomocí vzorečku, nebo jenom úplně jednoduše, bez vzorečku a zjistíte, že dostanete tady toto. A pak nám tu ještě zbylo minus čtyři a minus čtyři, které je kvůli tomu přičtení. Takže to je minus osm. A teď abychom to neměli v takovém škaredém tvaru, tak můžeme zase zpětně roznásobit tou minus dvojkou. Takže to bude minus dva krát x minus dva to celé na druhou, minus dvakrát minus osm je plus 16. A teď jsme to dostali do toho tvaru, do kterého jsme to chtěli dostat. A já vám hned vysvětlím proč. Takže jsme si vlastně upravili jenom tento zápis, to je ekvivalentní. Ale z tohoto už jednoduše dostaneme ty souřadnice toho vrcholu paraboly. Už jsme řekli, že ten náš vrchol paraboly bude ta maximální hodnota té funkce. Její maximum. Kdy tohle dosáhne té svojí nejvyšší maximální hodnoty? Tohle je konstanta, to nás nezajímá, to se na měnit nebude. Tady máme něco umocněné na druhou, což bude vždy nezáporné. Ale tady to násobíme záporným číslem, takže výsledek bude vždy buď záporný nebo nula. My tady chceme dostat co nejvyšší hodnotu, tudíž toto celé by nemělo být žádné záporné číslo, které bychom od té šestnáctky museli odečíst, nýbrž nejvyšší hodnotou, kterou tady u tohoto členu můžeme dostat, je nula. A když se tohle bude rovnat nule, když x minus 2 se bude rovnat nule, tedy tato závorka, a tedy když x bude rovno dvěma. Už jsme dostali x-ovou souřadnici té paraboly a ještě nám zbývá y. A to je jednoduché, řekli jsme, že to má maximální hodnotu, když toto je nulové. Takže F(x) bude rovno 0 plus 16, tedy 16. Takže y bude rovno šestnácti a ten bod bude mít souřadnice 2 a 16. To je náš vrchol paraboly. Tak si to pojďme zaznačit do grafu. Tady je 2, 4. Dál už ani nemusím. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. 2 a 16. To je tady náš vrchol té paraboly. To jsme si teď spočítali. Ještě si tu načrtneme jenom tu osu paraboly, která bude procházet tím bodem x je rovno dvěma, protože prochází vrcholem paraboly. Tohle je trochu nehezky načrtnutá osa paraboly, podle které je ta parabola souměrná, symetrická. A kdybychom si tu parabolu chtěli načrtnout, tak si můžeme ještě spočítat nějaké další body, kterými prochází. Nejjednodušší by asi bylo podívat se na průsečík s osou y, tedy když x je nulové, protože když x bude nulové a podíváme se na původní předpis funkce, tak toto bude 0, toto bude 0,a vidíme že y bude rovno osmi, takže to nám vlastně dá bod 0 a 8, 0 a 8, 2, 4, 6, 8, to je tady. A jak už jsme řekli, parabola je souměrná podél této osy, takže budeme mít i bod 4 a 8. Vidíme,jak je to hezky souměrné podél té osy. A teď už si to můžeme zjednodušeně načrtnout. Bude to celkem taková úzká parabola. Bude to něco takového. Spočítali jsme to, co jsme chtěli, načrtli jsme si osu paraboly a teď ještě ten slíbený vzoreček. Já se ho tu pokusím někde namáčknout, ale to se nám vejde, poněvadž to není nic složitého. Vzoreček pro výpočet souřadnic vrcholů paraboly. Tedy primárně pro výpočet té x-ové souřadnice, je x je rovno minus b dělena dvěma a. B je v našem případě koeficient tady u tohoto členu, u toho lineárního, a tedy by to bylo rovno minus 8 děleno dvě a, to je koeficient kvadratického členu, takže 2 krát minus 2. To by bylo minus 8 děleno minus 4, to by bylo 2. Přesně jak jsme spočítali tady. A y-ovou souřadnici už bychom si pak mohli spočítat dosazením do tohoto předpisu. Ale je dobré kromě vzorečku znát i postup, jak si to spočítáte, i když ten vzoreček zapomenete a vědět, jak jsme na to intuitivně přišli.