Řešený příklad: Předpis a vlastnosti kvadratických funkcí

Funkce m je zadána ve třech ekvivalentních zápisech. Pomocí kterého zápisu nejrychleji najdeme průsečík s osou y? Tady máme funkci m(x) a její tři různé zápisy, nebo můžeme říct také tvary. Všechny ty tvary, všechny ty zápisy, jsou si ekvivalentní, což znamená, že můžeme mezi nimi libovolně převádět. Můžete si to klidně zkusit. My chceme najít průsečík s osou y. Jak to vlastně bude vypadat? Máme tu kvadratickou funkci, takže grafem této kvadratické funkce bude parabola. Když se podíváte do toho obecného zápisu, do toho standardního tvaru, tady vidíme, že tady ten koeficient je záporný, takže ta parabola se nám bude otvírat dolů, když si to tady jen tak rychle načrtnu, tak ta parabola bude vypadat nějak takto, velice zhruba. A my hledáme průsečík s osou y, což je tady. Kdy vlastně nastává ten průsečík s osou y? Když hodnota x je nulová. Takže my vlastně chceme spočítat hodnotu funkce m v bodě nula. A pomocí kterého z těch zápisů se nám to podaří nejrychleji? Takže, m v bodě nula, tady bych musela dosadit nuly, a musela bych počítat dva krát minus tři krát minus devět. A vyšel by mi výsledek. U druhého případu, taktéž bych musela dosadit tady 0, minus 6 je minus 6 to celé na druhou, krát minus dva plus osmnáct. Taky by mi to nějakou chvilku zabralo. No ale pozor, tady ten třetí tvar, ten standardní tvar, obecný zápis, tady když dosadím nulu za x, tak toto bude nula, toto bude nula, a zbude mi pouze tady ten konec, to minus 54, což je opravdu náš průsečík s osou y, tedy v bodě nula a tady se mi to teď nevejde do toho, minus padesát čtyři. Takže tento třetí tvar, ten standardní tvar, nebo obecný zápis, chcete-li, je rozhodně nejjednodušší, když chceme najít průsečík s osou y, protože toto se nám prostě krásně vyruší a zbude nám tady jenom ta konstanta na konci, těch minus padesát čtyři. Tento druhý tvar je výhodný pro počítání souřadnic vrcholů. Možná by vás mohlo napadnout, že tak tady jsme něco poškrtali, když x bylo nula, tak možná můžu škrtnout i tohle a zbude mi jenom těch +18 na konci. Pozor. Když tady dosadím nulu, tak tohle to celé rozhodně nebude nulové. 0 minus 6 je minus 6, na druhou, krát minus 2, to není nulové. Takže toto ať vás to nemate, že tady na konci je taky nějaká konstanta, tak by to mohlo být to samé. Není. Z tohoto dobře vypočítáme souřadnice vrcholu. A tady ten třetí zápis, ten se nám nejlépe hodí na hledání průsečíku s osou x, neboli nějakých nulových bodů funkce, kdy ta funkce má nulovou hodnotu, ale pro průsečíky s osou y je rozhodně nejlepší tento třetí zápis. Pojďme dál. Stejné zadání, jenom tentokrát se nás ptají, pomocí kterého zápisu nejrychleji najdeme souřadnice vrcholů, té paraboly, samozřejmě. Máme tu úplně stejné zadání a teď jsme o tom zrovna mluvili, teď jsem to zmiňovala, že na hledání souřadnic vrcholů paraboly je nejlepší ten druhý tvar. Takže to si můžeme rovnou zaznačit. Ale teď se nás ještě ptají, jaké ty souřadnice vrcholů paraboly jsou. Podíváme se. Už jsme si řekli, že ta parabola se bude otvírat dolů, bude konkávní. Takže ten vrchol paraboly bude vlastně maximum té funkce, maximální hodnota, kterou ta funkce může dosáhnout. Máme tady tento tvar, tento zápis. A kdy mi z toho dostaneme maximální hodnotu? Tak se pojďme na to podívat. Tady ta +18 je konstantní, to bude pořád stejné, takže nás zajímá jenom tato část. Jak to bude s touto částí? Tady máme něco umocněné na druhou, takže to bude vždycky nezáporné. Jenže tady máme záporné číslo, kterým to vynásobíme. Takže výsledek bude vždycky záporný nebo nula. Když bude záporný, tak od té osmnáctky vždycky budeme něco odečítat. Takže tu bude vždycky méně než 18. Takže, nejvyšší hodnoty to celé dosáhne, když tento člen bude rovný nule a tím pádem od té osmnáctky nebudeme nic odečítat. A kdy bude tento člen rovný nule? Když x minus 6 se bude rovnat nule, a tedy x se bude rovnat šesti. To je ta x-ová souřadnice toho vrcholu té paraboly, to jsme získali odsud, a ta y-ová, to je ta hodnota funkce. Když dosadíme x je rovno šesti. Tohle bude tedy nulové. A zbude nám plus 18. Takže toto, ta konstanta na konci, je vlastně y-ová souřadnice toho vrcholu. Souřadnice vrcholu budou 6 a 18 a vrchol paraboly nejlépe spočítáme z tohoto tvaru. Nejtěžší by to bylo asi z obecného zápisu. Ten bychom museli doplnit na čtverec a až potom bychom dostali něco takového, ze kterého bychom to poznali. Kdybychom měli tady tento součinový tvar rozložený na součin, tak tam bychom mohli najít průsečíky s osou x, pak bychom věděli, že vrchol paraboly je přesně mezi nimi, tedy ta x-ová souřadnice leží přesně mezi těmi průsečíky s osou x, jelikož parabola je symetrická, a potom bychom si dopočítali z té x-ové souřadnice y-ovou. Ale to už by bylo taky docela složité. Takže rozhodně tento druhý tvar. A poslední zadání, tentokrát máme funkci f, a ptají se nás, pomocí kterého zápisu nejrychleji najdeme takzvané nulové body funkce, neboli kořeny, nulové body funkce neboli, kdy ta funkce má nulovou hodnotu. Tedy kdy f(x) je rovno nule, nebo také kdy y je rovno nule. Když protínáme osu x, takže jsou to vlastně průsečíky s osou x, tady ještě ukážu na obrázku. Máme vlastně osu x, teď tady máme tu parabolu. Tady ještě nakreslíme osu y a hodnota f(x) je nulová, když ležíme na ose x, takže jsou to průsečíky s osou x. Tak se pojďme podívat, z čeho to nejlépe spočítáme. První možnost, kdy celé toto bude rovno nule. Tady to jednoduché máme, součin, takže stačí když jeden ten činitel bude roven nule, takže když tato závorka nebo tato závorka bude rovna nule, což je jednoduché. X se bude rovnat minus jedna nebo x se bude rovnat minus 11. Jak už jsme si řekli, z tohoto součinového tvaru jednoduše nalezneme ty v uvozovkách kořeny, neboli nulové body, protože přesně takhle jsme i počítali kořeny kvadratických rovnic, že jsme si to rozložili na součin a pak jsme to jednoduše našli. Takže tohle je rozhodně rychlý způsob, jak tyto nulové body funkce najít. Tady u toho druhého by to bylo mnohem složitější. Museli bychom celé toto položit rovno nule, přičíst 75, vydělit třemi a tak dále a tak dále. U tohoto třetího by to bylo také těžké, a nejjednodušší tady by stejně bylo si tento tvar rozložit na součin, takže bychom se zase vrátili k tomuto prvnímu tvaru. A z toho bychom to zase vypočítali. Takže nulové body funkce, ty takzvané v uvozovkách kořeny, najdeme rozhodně nejlépe pomocí tohoto prvního zápisu, prvního tvaru. A máme tady uvést jeden z těch nulových bodů, kdy x se rovná. Takže můžeme napsat x se rovná buď minus jedna nebo x se rovná minus 11 a y je samozřejmě vždy rovná nule. A máme hotovo.