Spojitost funkce v bodě

V tomto videu zavedeme přesnější definici spojitosti. A základní myšlenka spojitosti… V minulosti jsme měli intuitivní definici, a ta je taková, že funkce je v bodě spojitá, pokud můžeme nakreslit její graf v tomto bodě bez zvednutí tužky. A co tím přesně myslíme? A tohle je… Co jsem zrovna řekl není úplně přesný popis, vlastně to vůbec není přesné. Koukněme se na tento bod. Řekněme, že to je ‚c‘. Pokud můžeme nakreslit graf funkce v tomto bodě bez zvednutí tužky, pak je zde funkce spojitá. Tedy můžu začít tady, nemusím zvednout pero a pak pokračuji dál. Můžu projít tímto bodem, takže můžeme říct, že naše funkce je v něm spojitá. Ale kdybych měl funkci, která vypadá jinak, kdybych měl funkci, která vypadá takto. Řekněme, že je definovaná až sem, poté je tady skok a pak pokračuje takto. To by bylo těžké nakreslit v… Tato funkce by se těžko nakreslila v bodě x rovno ‚c‘ bez zvednutí tužky. Moje pero se dotýká obrazovky, dotýká obrazovky, dotýká obrazovky... Jak ale můžu pokračovat v kreslení grafu bez zvednutí pera? Musel bych ho zvednout a posunout sem dolů. A to je intuitivní chápání toho, že v tomto případě funkce není spojitá. Teď zaveďme formální definici spojitosti, a pak uvidíme, jestli souhlasí s naší intuitivní definicí. Tedy formální definice, začněme tady. Začneme se spojitostí v bodě. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x rovno ‚c‘ právě tehdy, když… Nakreslím zde oboustrannou šipku, která značí „právě tehdy, když“. ...oboustranná limita f(x) pro x blížící se k ‚c‘ je rovna f(c). To působí velmi technicky. Ale zamysleme se nad tím, co nám to říká. Říká to, že pokud se limita funkce f(x) zprava a zleva v bodě ‚c‘… Pokud se rovná funkční hodnotě, tak je v tomto bodě funkce spojitá. Koukněme se na tři příklady. Podíváme se na jeden příklad, v němž to použitím našeho „zvedání pera“ vypadá, že funkce je v bodě spojitá. A pak se zamyslíme nad dvěma příklady, kde to nevypadá, že by funkce v daném bodě byla spojitá, a uvidíme, jak se použije tato přesná definice. Řekněme tedy, že moje funkce… Toto je y se rovná f(x). A zajímá nás chování v bodě x rovná se ‚c‘. Toto je osa x a tohle bude osa y. Zajímá nás chování v bodě x rovno ‚c‘. Všimněme si, že intuice nám radí, že tuhle funkci můžeme nakreslit a projít bodem ‚c‘ bez zvednutí tužky. Takže funkce se zde zdá být spojitá. Není tu žádný skok ani jiné nespojitosti, o kterých bychom věděli. Prostě to pořád pokračuje. Můžeme nad tím přemýšlet tak, že to vypadá všechno spojeně. Ale zamysleme se nad definicí. No, limita pro x blížící se k ‚c‘ zleva je… Když se blížíme zleva, tak se zdá, že jsme skoro u… ...vypadá to, že se blížíme k f(c). Zde je funkční hodnota f(c). A když se blížíme zprava… Když se blížíme zprava, tak se zdá, že se také blížíme k f(c). Funkční hodnota je v bodě x rovno ‚c‘ definovaná a zároveň je to ta hodnota, ke které se blížíme zprava i zleva. Takže to vypadá celkem dobře. Koukněme se na případy, kde musíme zvednout tužku, když kreslíme funkci v nějakém bodě, Když se x rovná ‚c‘. Tak se na to podíváme. Podíváme se na případ takzvané odstranitelné nespojitosti, i když tuto terminologii ještě nemusíte znát. Mějme tedy funkci… Tady bude ‚c‘. A naše funkce by mohla vypadat nějak takto. Funkce jde takto a v bodě ‚c‘ je rovna tomuto. f(c) je zde. f(c) je tato hodnota. Ale jaká je limita pro x blížící se k ‚c‘? Limita pro x blížící se k ‚c‘, je to oboustranná limita... Když se blížíme zleva, tak to vypadá, že se blížíme k této hodnotě. A když se blížíme zprava, tak se blížíme ke stejné hodnotě. Tuto hodnotu si nazveme 'L'. A 'L' není rovno f(c). V tomto případě tak podle naší formální definice nejde o funkci spojitou v… f není spojitá v bodě ‚c‘. To můžeme vidět i tak, že si to zkusíme nakreslit. Tužka se dotýká papíru, dotýká se, dotýká se papíru. Ale ne! Pokud chci pokračovat v kreslení, tak musím tužku zvednout a posunout ji. Pak ji musím znovu zvednout a zase se vrátit sem dolů. A podle přesné definice dojdeme ke stejnému závěru. Limita pro x blížící se k ‚c‘ zprava a zleva je jiná hodnota než f(c). Tudíž funkce není spojitá. Není tedy spojitá. Zamysleme se nad dalším příkladem. Vlastně se koukněme na příklad, kde limita… Kde oboustranná limita ani neexistuje. Zde máme osy ‚x‘ a ‚y‘ a řekněme, že funkce vypadá nějak takto. Chová se nějak takto, pak udělá toto a pokračuje dál tudy. A toto bude bod ‚c‘. Zde je f(c). Zkusím to nakreslit lépe. Toto je f(c). Skutečně se zdá, že limita pro x blížící se k ‚c‘ zleva, tedy po hodnotách menších než ‚c‘, skutečně to vypadá, že tato limita se rovná f(c). Ale když se podíváme na limitu pro x blížící se k ‚c‘ zprava, tak ta se rovná jiné hodnotě. Vypadá to, že se rovná této hodnotě, označme si ji ‚L‘. Ta se rovná ‚L‘, ale ‚L‘ se nerovná f(c). Proto v této situaci oboustranná limita ani neexistuje. Blížíme se k rozdílným hodnotám, když se blížíme zprava a zleva. Jelikož limita v bodě ‚c‘ ani neexistuje, tak zde funkce ani nemůže být spojitá. A to souhlasí s naším očekáváním, s naším testem kreslením tužkou. Když to chci nakreslit, přiložím tužku, je na papíře, je na papíře, je na papíře, je na papíře. Jak ale budu pokračovat v kreslení grafu této funkce bez zvednutí tužky? Zvednu ji, vrátím ji zpátky dolů a pak budu pokračovat. Takže ještě jednou, funkce není spojitá. Intuitivně pomocí zvedání tužky i skrze přesnou definici. V tomto případě oboustranná limita pro x blížící se k ‚c‘ ani neexistuje, a tak se určitě nejedná o spojitou funkci. Ale i když limita existuje, avšak nerovná se funkční hodnotě, tak se také nejedná o spojitou funkci. Jediná situace, kdy půjde o spojitou funkci, je tehdy, když se oboustranná limita rovná funkční hodnotě v daném bodě. Pokud je toto pravda, pak je funkce spojitá, a pokud je funkce spojitá, pak bude toto pravda.