Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 1
Lekce 11: Spojitost funkce v boděŘešený příklad: bod, v němž funkce není spojitá
V tomto videu spočítáme limitu po částech definované funkce pro x blížící se k bodu "mezi dvěma předpisy" naší funkce. V tomto případě se sobě jednostranné limity nerovnají, takže hledaná limita neexistuje.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme zde tuto funkci f(x),
která je po částech spojitá. Je definovaná na
několika intervalech. Pro x větší než 0 a menší nebo rovno 2
je f(x) přirozený logaritmus x. Pro všechna x větší než 2 je f(x) rovno
x na druhou krát přirozený logaritmus x. A my chceme najít limitu f(x)
pro x blížící se ke 2. Na hodnotě 2 je zajímavé to, že jde o hraniční bod mezi
těmito dvěma intervaly. Pokud chceme funkci vyčíslit
v bodě 2, tak použijeme tento předpis. f v bodě 2… 2 je menší nebo
rovno 2 a větší než 0, takže hodnotu f(2)
už snadno zjistíme, je to přirozený
logaritmus ze 2. Ale to nutně nemusí
být rovno limitě. Abychom zjistili, čemu se rovná
limita, tak se musíme podívat, jak vypadá limita zleva,
jak vypadá limita zprava, zda vůbec existují, a pokud ano,
tak jestli si jsou rovny. Pokud si budou rovny, tak budeme
mít dobře definovanou oboustrannou limitu. Tak se do toho pusťme. Podíváme se na limitu f(x) pro x blížící
se ke 2 zleva, po hodnotách menších než 2. V tomto případě se budeme
pohybovat v tomto intervalu. Pracujeme s hodnotami menšími než 2,
blížíme se ke 2 zleva. Bude tak platit tento předpis. Jelikož je tento předpis spojitý
na intervalu, v němž se pohybujeme, určitě je spojitý pro všechny hodnoty
x větší než 0 a menší nebo rovno 2, tak tato limita bude rovna
tomuto předpisu vyčíslenému v bodě 2, protože je na tomto
intervalu spojitý. Toto se tak bude rovnat
přirozenému logaritmu ze 2. Nyní se zamysleme nad limitou
zprava, pro hodnoty větší než 2. Tedy limita f(x) pro x
blížící se ke 2 zprava. Přestože 2 spadá
do tohoto intervalu, tak když se blížíme od
hodnot větších než 2, tak platí tento případ. Takže se blížíme ke 2
a používáme tento předpis. Tento předpis je opět spojitý
nejen pro všechny hodnoty x větší než 2, ve skutečnosti i pro
hodnoty větší nebo rovny 2. V tomto případě tak
můžeme použít stejný argument, že naše limita je rovna tomuto
předpisu vyčíslenému v bodě 2. Pokud bychom pouze
vyčíslili funkci v bodě 2, tak bychom použili
tento předpis, ale my se blížíme zprava. Když se blížíme zprava,
tak jsou hodnoty x větší než 2, a proto platí tento předpis. Nyní tedy vyčíslíme tento předpis
v bodě 2, jelikož je spojitý. Toto se rovná 2 na druhou
krát přirozený logaritmus ze 2, a to je rovno 4 krát
přirozený logaritmus ze 2. Limita zprava tedy existuje, limita zleva také existuje, ale problém je, že jsou
to dvě různé hodnoty. Zleva se blížíme k jiné
hodnotě než zprava. Pokud bychom si nakreslili graf,
tak bychom v grafu viděli skok. Viděli bychom
zde nespojitost. Pro tento případ dochází k
tzv. nespojitosti 1.druhu. Tato limita neexistuje, protože limita zleva a
limita zprava se nerovnají. Tedy tato limita neexistuje.