Řešený příklad: bod, v němž je funkce spojitá

Máme zde funkci g(x), kterou definujeme jako logaritmus 3x, pokud je x větší než 0 a menší než 3, a (4 minus x) krát logaritmus 9, když je x větší nebo rovno 3. A pro takto definovanou funkci g(x) chceme najít její limitu, když se x blíží ke 3. Všimněme si, že bod x rovno 3 je přesně ten bod, kde se mění předpis funkce. Nejdříve platí první předpis, když je x mezi 0 a 3, když je větší než 0 a menší než 3, a pak v bodě 3 začne platit tento předpis. Takže abychom našli limitu, musíme najít limitu zleva, což znamená, že použijeme tento předpis, protože ten platí pro x menší než 3. Ale také chceme najít limitu zprava, což znamená, že budeme muset použít tento předpis, a pokud obě limity existují a jsou si rovny, tak je oboustranná limita rovna jejich hodnotě. Pojďme na to. Podívejme se nejdříve na limitu zleva. Tedy limita když se x blíží ke 3 po hodnotách, které jsou menší než 3, neboli blížíme se zleva, z funkce g(x). Toto se rovná limitě pro x blížící se ke 3 ze záporného směru... Když je x menší než 3, což je přesně to, co se zde děje, blížíme se ke 3 zleva, tak platí tento předpis. Tento předpis tak musíme napsat sem. Tak vypadá funkce g(x), když je x menší než 3. Tedy to je logaritmus 3x, a jelikož je tato funkce definovaná a spojitá na intervalu, který nás zajímá, což je pro x větší než 0, tak sem prostě můžeme dosadit 3 a uvidíme, čemu se to rovná. Tedy toto bude rovno logaritmu z (3 krát 3), tedy logaritmu z 9. Zopakujme si, že když se píše logaritmus bez základu, tak tím myslíme logaritmus se základem 10. Tedy toto je logaritmus o základu 10. To se hodí vědět, občas se to trochu plete. Super, teď se zamysleme nad druhým případem. Zamysleme se nad situací, kdy se ke 3 blížíme zprava, tedy zajímají nás hodnoty větší než 3. Teď bude platit tento druhý předpis. Toto bude rovno limitě pro x blížící se ke 3 z kladného směru, tedy když se blížíme zprava. g(x) má pro x větší než 3 tento předpis, takže tady bude (4 minus x) krát logaritmus 9, a to vypadá jako nějaký logaritmický výraz, dokud si ovšem neuvědomíme, že logaritmus 9 je prostě konstanta, logaritmus o základu 10 z 9 je nějaké číslo blízko 1. Tento výraz ve skutečnosti definuje přímku. Pro x větší nebo rovno 3 je g(x) prostě přímka, přestože to vypadá složitěji. Proto je tento výraz definován pro všechna reálná čísla a je také spojitý pro libovolné x. Abychom určili tuto limitu, tak musíme zjistit, k čemu se tento výraz blíží, když se x zprava blíží ke 3, a k tomu stačí pouze za x dosadit 3. To bude (4 minus 3) krát logaritmus 9. Tohle je 1. Tedy toto je rovno logaritmu o základu 10 z 9. Limita zleva je rovna limitě zprava, obě jsou rovny logaritmu 9, takže odpověď je logaritmus 9. A máme hotovo.