Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 1
Lekce 11: Spojitost funkce v boděŘešený příklad: spojitost funkce v bodě (graficky)
Na dvou příkladech si ukážeme, jak ověřit, zda je funkce v daném bodě spojitá, když známe její graf.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme zadaný graf
funkce y rovná se g(x) a chceme zjistit a označit,
která z těchto tvrzení jsou pravdivá. Jako vždy vám doporučuji
si video zastavit a zkusit si tuto
úlohu vyřešit sami. Podívejme se nyní
na první tvrzení. První tvrzení nám říká, že jak limita g(x) pro x
blížící se k 6 zprava, tak limita g(x) pro x
blížící se k 6 zleva existuje. Nejdříve se podívejme na limitu g(x)
pro x blížící se k 6 zprava neboli když se k 6 blížíme
hodnotami většími než 6. Když se podíváme sem,
tak si můžeme říci: „Dobře, když je x rovno 9
a g v bodě 9 je tady, g v bodě 8 je tady, g v bodě 7 je tady, vypadá to, že jde o hodnotu
mezi minus 3 a minus 4, g v bodě 6,5
vypadá, že je trochu... ...pořád je mezi minus 3 a minus 4,
ale blíže k minus 3, g v bodě 6,1 je
ještě blíže k minus 3, g v bodě 6,01 je
ještě blíž k minus 3, takže to vypadá,
že limita zprava existuje.“ Tedy že tato
limita existuje. Dívám se na to
prostě graficky, protože to je to, co od vás u příkladu
jako je tento mohou očekávat. Teď se podívejme na limitu
pro x blížící se k 6 zleva. Mohl bych začít kdekoliv,
takže když je například x rovno 3, g v bodě 3 je
o trochu větší než 1. g v bodě 4 je
o trochu méně než 2. g v bodě 5 se zdá
být velmi blízko ke 3. g v bodě 5,5 je
někde mezi 5 a 6. g v bodě 5,75
je velmi blízko 9. A když se blížíme
čím dál tím víc, když se x čím dál
víc blíží k 6 zezdola, tedy po hodnotách
nalevo od 6, vypadá to, že jdeme
do nekonečna. Takže technicky vzato
tato limita neexistuje. Tedy toto tvrzení
není správně. Někteří by řekli, že limita
je rovna nekonečnu, ale nekonečno
není žádná hodnota, ke které se můžeme blížit podle
klasické formální definice limity. Proto řekneme, že
tato limita neexistuje. Dále máme tvrzení, že limita g(x)
pro x blížící se k 6 existuje. Tato limita bude
existovat jedině tehdy, když budou jak
limita zleva, tak limita zprava existovat
a rovnat se tomu samému. Jenže naše limita pro x blížící
se zleva ani neexistuje, takže tohle tvrzení
nemůže být pravda. A první tvrzení
také není pravdivé. „g je definovaná
v bodě x rovno 6." Nevypadá to, že by byla g
v bodě x rovno 6 definovaná. Při pohledu na graf nedokážu říci,
čemu by se g v bodě 6 mělo rovnat. Tady máme nevybarvené kolečko,
takže g v bodě 6 není rovno minus 3, a zde jde graf
do nekonečna. Bodem x rovno 6 vlastně
prochází svislá asymptota. Takže g v bodě x
rovno 6 není definovaná. „g je v bodě x
rovno 6 spojitá." Můžeme vidět, že graf
jde nejdříve do nekonečna, potom udělá skok
sem dolů a pokračuje dál. Takže selský rozum nám říká,
že graf vypadá velmi nespojitě. Pokud o tom chceme
uvažovat formálněji, tak aby byla funkce spojitá, limita v daném bodě
musí existovat, funkce v tom bodě
musí být definovaná a hodnota funkce se
musí rovnat hodnotě limity. Už první dvě podmínky
nejsou splněny a tyto výrazy se sobě tak ani nemohou
rovnat, protože ani jeden neexistuje. Takže funkce v bodě
x rovno 6 není spojitá. Jedinou správnou odpovědí je tedy
"nic z výše uvedených." Pojďme si zkusit ještě
jednu takovou úlohu. První tvrzení
nám říká, že jak limita zprava, tak limita zleva
pro x blížící se ke 3 existují. V bodě x rovno 3 si můžeme
všimnout nespojitosti 1. druhu. Zkusme se tedy nejprve blížit
po hodnotách větších než 3. Když je x rovno 5, g v bodě 5 je o trochu
méně než minus 3. g v bodě 4 je někde
mezi minus 2 a minus 3. g v bodě 3,5 je
o trochu blíž k minus 2. g v bodě 3,1 je
ještě blíž k minus 2. g v bodě 3,01 je
ještě blíž k minus 2. Takže to vypadá,
že tato limita... zvýrazňuji tu špatnou ...vypadá to, že tato limita
existuje a je rovna minus 2. Takže tohle je
rovno minus 2. To byla limita g(x) pro x
blížící se ke 3 zprava a teď se podívejme
na limitu zleva. Můžeme začít
třeba tady. g v bodě 1 se zdá být o trochu
větší než minus 1. g v bodě 2
je menší než 1. g v bodě 2,5
je mezi 1 a 2. g v bodě 2,9 je
o malinko menší než 2. g v bodě 2,99
je ještě blíž ke 2. g v bodě 2,99999
bude ještě blíž ke 2, takže to vypadá,
že tato limita je 2. Takže obě limity, jak ta zprava,
tak ta zleva, existují. „Limita g(x) pro x
blížící se ke 3 existuje." Toto jsou
jednostranné limity a toto je
oboustranná limita. Aby tato
limita existovala, limity zprava i zleva musí
existovat a být si rovny. V prvním tvrzení
jsme zjistili, že obě limity existují,
ale nejsou si rovny. Zleva... ...pardon, zprava se
blížíme k minus 2 a zleva se blížíme ke 2. Tato limita
tedy neexistuje. Takže toto tvrzení
nezaškrtnu jako správné. „g je definovaná
v bodě x rovno 3." V bodě x rovno 3
vidíme vybarvené kolečko, takže funkce je v tomto
bodě skutečně definovaná. „g je v bodě x
rovno 3 spojitá." Aby byla g v bodě
x rovno 3 spojitá, limita v tomto
bodě musí existovat, funkce zde musí
být definovaná a funkční hodnota se musí
rovnat hodnotě limity. Funkce je v tomto sice bodě
definovaná, ale limita neexistuje, takže funkce zde
nemůže být spojitá. Tohle si
tedy škrtneme. A "nic z výše
uvedených" není správně, protože už jsem dříve
zaškrtnul dvě tvrzení.