Řešený příklad: spojitost funkce v bodě (graficky)

Máme zadaný graf funkce y rovná se g(x) a chceme zjistit a označit, která z těchto tvrzení jsou pravdivá. Jako vždy vám doporučuji si video zastavit a zkusit si tuto úlohu vyřešit sami. Podívejme se nyní na první tvrzení. První tvrzení nám říká, že jak limita g(x) pro x blížící se k 6 zprava, tak limita g(x) pro x blížící se k 6 zleva existuje. Nejdříve se podívejme na limitu g(x) pro x blížící se k 6 zprava neboli když se k 6 blížíme hodnotami většími než 6. Když se podíváme sem, tak si můžeme říci: „Dobře, když je x rovno 9 a g v bodě 9 je tady, g v bodě 8 je tady, g v bodě 7 je tady, vypadá to, že jde o hodnotu mezi minus 3 a minus 4, g v bodě 6,5 vypadá, že je trochu... ...pořád je mezi minus 3 a minus 4, ale blíže k minus 3, g v bodě 6,1 je ještě blíže k minus 3, g v bodě 6,01 je ještě blíž k minus 3, takže to vypadá, že limita zprava existuje.“ Tedy že tato limita existuje. Dívám se na to prostě graficky, protože to je to, co od vás u příkladu jako je tento mohou očekávat. Teď se podívejme na limitu pro x blížící se k 6 zleva. Mohl bych začít kdekoliv, takže když je například x rovno 3, g v bodě 3 je o trochu větší než 1. g v bodě 4 je o trochu méně než 2. g v bodě 5 se zdá být velmi blízko ke 3. g v bodě 5,5 je někde mezi 5 a 6. g v bodě 5,75 je velmi blízko 9. A když se blížíme čím dál tím víc, když se x čím dál víc blíží k 6 zezdola, tedy po hodnotách nalevo od 6, vypadá to, že jdeme do nekonečna. Takže technicky vzato tato limita neexistuje. Tedy toto tvrzení není správně. Někteří by řekli, že limita je rovna nekonečnu, ale nekonečno není žádná hodnota, ke které se můžeme blížit podle klasické formální definice limity. Proto řekneme, že tato limita neexistuje. Dále máme tvrzení, že limita g(x) pro x blížící se k 6 existuje. Tato limita bude existovat jedině tehdy, když budou jak limita zleva, tak limita zprava existovat a rovnat se tomu samému. Jenže naše limita pro x blížící se zleva ani neexistuje, takže tohle tvrzení nemůže být pravda. A první tvrzení také není pravdivé. „g je definovaná v bodě x rovno 6." Nevypadá to, že by byla g v bodě x rovno 6 definovaná. Při pohledu na graf nedokážu říci, čemu by se g v bodě 6 mělo rovnat. Tady máme nevybarvené kolečko, takže g v bodě 6 není rovno minus 3, a zde jde graf do nekonečna. Bodem x rovno 6 vlastně prochází svislá asymptota. Takže g v bodě x rovno 6 není definovaná. „g je v bodě x rovno 6 spojitá." Můžeme vidět, že graf jde nejdříve do nekonečna, potom udělá skok sem dolů a pokračuje dál. Takže selský rozum nám říká, že graf vypadá velmi nespojitě. Pokud o tom chceme uvažovat formálněji, tak aby byla funkce spojitá, limita v daném bodě musí existovat, funkce v tom bodě musí být definovaná a hodnota funkce se musí rovnat hodnotě limity. Už první dvě podmínky nejsou splněny a tyto výrazy se sobě tak ani nemohou rovnat, protože ani jeden neexistuje. Takže funkce v bodě x rovno 6 není spojitá. Jedinou správnou odpovědí je tedy "nic z výše uvedených." Pojďme si zkusit ještě jednu takovou úlohu. První tvrzení nám říká, že jak limita zprava, tak limita zleva pro x blížící se ke 3 existují. V bodě x rovno 3 si můžeme všimnout nespojitosti 1. druhu. Zkusme se tedy nejprve blížit po hodnotách větších než 3. Když je x rovno 5, g v bodě 5 je o trochu méně než minus 3. g v bodě 4 je někde mezi minus 2 a minus 3. g v bodě 3,5 je o trochu blíž k minus 2. g v bodě 3,1 je ještě blíž k minus 2. g v bodě 3,01 je ještě blíž k minus 2. Takže to vypadá, že tato limita... zvýrazňuji tu špatnou ...vypadá to, že tato limita existuje a je rovna minus 2. Takže tohle je rovno minus 2. To byla limita g(x) pro x blížící se ke 3 zprava a teď se podívejme na limitu zleva. Můžeme začít třeba tady. g v bodě 1 se zdá být o trochu větší než minus 1. g v bodě 2 je menší než 1. g v bodě 2,5 je mezi 1 a 2. g v bodě 2,9 je o malinko menší než 2. g v bodě 2,99 je ještě blíž ke 2. g v bodě 2,99999 bude ještě blíž ke 2, takže to vypadá, že tato limita je 2. Takže obě limity, jak ta zprava, tak ta zleva, existují. „Limita g(x) pro x blížící se ke 3 existuje." Toto jsou jednostranné limity a toto je oboustranná limita. Aby tato limita existovala, limity zprava i zleva musí existovat a být si rovny. V prvním tvrzení jsme zjistili, že obě limity existují, ale nejsou si rovny. Zleva... ...pardon, zprava se blížíme k minus 2 a zleva se blížíme ke 2. Tato limita tedy neexistuje. Takže toto tvrzení nezaškrtnu jako správné. „g je definovaná v bodě x rovno 3." V bodě x rovno 3 vidíme vybarvené kolečko, takže funkce je v tomto bodě skutečně definovaná. „g je v bodě x rovno 3 spojitá." Aby byla g v bodě x rovno 3 spojitá, limita v tomto bodě musí existovat, funkce zde musí být definovaná a funkční hodnota se musí rovnat hodnotě limity. Funkce je v tomto sice bodě definovaná, ale limita neexistuje, takže funkce zde nemůže být spojitá. Tohle si tedy škrtneme. A "nic z výše uvedených" není správně, protože už jsem dříve zaškrtnul dvě tvrzení.