Souhrn pravidla o derivaci podílu

Souhrn znalostí o pravidlu o derivaci podílu a jeho použití na příkladech.

Co je vzorec pro derivaci podílu?

Vzorec pro derivaci podílu nám říká, jak zderivovat výraz, který je podílem dvou jednodušších výrazů.

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{\frac{d}{d x} [f (x)] \cdot g (x) - f (x) \cdot \frac{d}{d x} [g (x)]}{[g (x)]^{2}}

V podstatě vynásobíme derivaci funkce

f

funkcí

g

, odečteme funkci

f

vynásobenou derivací funkce

g

a pak to celé vydělíme

[g (x)]^{2}

Chceš se o vzorci pro derivaci podílu dozvědět více? Podívej se na toto video.

Výraz

\frac{\sin (x)}{x^{2}}

zderivujeme za pomoci vzorce pro derivaci podílu takto:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{x^{2}}) \\ = \frac{\frac{d}{d x} (\sin (x)) x^{2} - \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{(x^{2})^{2}} & Vzorec pro derivaci podílu \\ = \frac{\cos (x) \cdot x^{2} - \sin (x) \cdot 2 x}{(x^{2})^{2}} & Zderivování \sin (x) a x^{2} \\ = \frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x^{4}} & Zjednodušení \\ = \frac{x \cos (x) - 2 \sin (x)}{x^{3}} & Vykrácení \end{aligned}

Příklad 1

f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}

f^{'} (x) =

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Zkus toto cvičení.

Máme danou tuto tabulku hodnot:

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍
$4$ ‍	$- 4$ ‍	$- 2$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍

Dále je dána funkce

H (x)

definovaná předpisem

\frac{f (x)}{g (x)}

. Chceme spočítat

H^{'} (4)

Vzorec pro derivaci podílu nám říká, že

H^{'} (x)

\frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

. To znamená, že

H^{'} (4)

\frac{f^{'} (4) g (4) - f (4) g^{'} (4)}{[g (4)]^{2}}

. Do tohoto výrazu můžeme nyní dosadit hodnoty z tabulky.

\begin{aligned} H^{'} (4) & = \frac{f^{'} (4) g (4) - f (4) g^{'} (4)}{[g (4)]^{2}} \\ = \frac{(0) (- 2) - (- 4) (8)}{(- 2)^{2}} \\ = \frac{32}{4} \\ = 8 \end{aligned}

Příklad 1

$x$ ‍	$g (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 2$ ‍	$4$ ‍	$1$ ‍	$- 1$ ‍	$2$ ‍

F (x) = \frac{g (x)}{h (x)}

F^{'} (- 2) =

Chceš si vyzkoušet další podobné příklady? Zkus toto cvičení.

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.