Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 11: Podílové pravidloTečna k y=𝑒ˣ/(2+x³)
Najdeme rovnici tečny ke křivce y=eˣ/(2+x³) v bodě (1,e/3). Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme křivku y rovná se
e na x lomeno (2 plus x na třetí) a chceme najít rovnici tečny k
této křivce v bodě x rovno 1, přičemž když je x rovno 1,
y se bude rovnat e lomeno 3. Zkusme tedy najít rovnici tečny
k téhle křivce v tomto bodě. Doporučuji vám, abyste si teď zastavili
video a zkusili to vyřešit sami. Směrnice tečny v tomto bodě je
totéž jako derivace v tomto bodě, takže zkusme spočítat derivaci
téhle funkce v tomto bodě. Nejprve si
to přepíšu. Můžeme použít derivaci podílu, ale já
vzorec pro derivaci podílu vždy zapomenu, derivování součinu si
pamatuji mnohem lépe. Tohle si tedy přepíšu
jako y rovná se... Rovnou to můžu
udělat různobarevně. ...rovná se e na x krát
(2 plus x na třetí) na minus prvou. Derivace tohohle, tedy y s čárkou, se
rovná derivaci této části, tedy e na x... Derivace e na x
je zase e na x. Děláme derivaci
podle x. Proto je e na x tak skvělá funkce,
derivace e na x je opět e na x. ...krát tento výraz, tedy krát
(2 plus x na třetí) na minus prvou. Dále musíme přičíst tohle,
přičemž teď už nejde o derivaci, tedy plus e na x krát
derivace tohoto výrazu. Tohle musíme
zderivovat podle x. Použijeme vzorec pro
derivaci složené funkce. Bude to derivace (2 plus x na třetí)
na minus prvou podle (2 plus x na třetí) krát derivace
(2 plus x na třetí) podle x. Takže to bude minus
(2 plus x na třetí) na minus druhou, a tohle vynásobíme
derivací (2 plus x na třetí) podle x. Derivace tohohle podle x
se rovná 3 krát x na druhou, takže krát
3 krát x na druhou. Tohle si samozřejmě můžeme
trochu zjednodušit, pokud chceme, ale naším cílem je zjistit
hodnotu derivace v tomto bodě, takže vyčíslíme derivaci y
v bodě x rovno 1. Když se x rovná 1, tento výraz bude
e krát (2 plus 1) na minus prvou, což je jedna třetina, (2 plus 1)
na minus prvou je 3 na minus prvou, a to je jedna třetina,
takže krát 1 lomeno 3 plus e na prvou... Čemu se rovná tohle? Tato část je (2 plus 1) na minus druhou,
což je 3 na minus druhou. 3 na druhou je 9,
3 na minus druhou je tedy 1 lomeno 9. Takže to bude 1 lomeno 9 a tady
je ještě minus, tudíž minus (1 lomeno 9), a to musíme
vynásobit 3 krát 1, takže dostaneme
minus (1 lomeno 9) krát 3, a to je minus (3 lomeno 9),
neboli minus (1 lomeno 3). Zde tedy bude
krát -(1 lomeno 3). Udělal jsem jen to, že jsem
za x dosadil 1 a vyčíslil výraz. A tohle je docela zajímavé,
protože jsem, když to přepíšu... Toto se rovná e lomeno 3
minus e lomeno 3, a to se rovná 0. Derivace v bodě x rovno 1 se tedy rovná 0,
neboli směrnice tečny se rovná 0. Zjednodušilo se nám to tedy
na poměrně přímočarou situaci. Kdybychom chtěli najít
rovnici ve směrnicovém tvaru, což je tvar y rovná se
‚m‘ krát x plus ‚b‘, kde ‚m‘ je směrnice a ‚b‘ je y-ová
souřadnice průsečíku s osou y... Už víme, že směrnice tečny
v našem bodě je 0. Zde tedy bude 0, a tak
i celý tento člen bude 0. Rovnice tak bude mít
tvar y rovná se ‚b‘, jde tedy o
vodorovnou přímku. Která vodorovná přímka
prochází tímto bodem? Určitě prochází bodem s
y-ovou souřadnicí e lomeno 3. Jde o vodorovnou přímku,
takže y zůstává celou dobu stejné. Pokud tedy nabývá hodnoty
y rovná se e lomeno 3, tak víme, že rovnice tečny k této křivce
v tomto bodě je y rovná se e lomeno 3. Na to jsme mohli přijít taky tak,
že bychom sem za x dosadili 1. Tady ani žádné x není, ale když je
x libovolné číslo, y se rovná e lomeno 3, takže bychom dostali,
že ‚b‘ se rovná e lomeno 3, a tedy že y se
rovná e lomeno 3. Jde tedy o
vodorovnou přímku. Zkusme si to nakreslit, abychom
se ujistili, že to dává smysl. Použiju na to svoji
grafickou kalkulačku. Teď ji mám v
grafickém režimu. Pokud chcete vědět,
jak se do něho dostat, tak jen stačí stisknout
tlačítko „GRAPH“. y se rovná e na x
děleno (2 plus x na třetí). Měřítko jsem nastavil už
dřív, abych ušetřil čas. Tak se podívejme
na graf. Dělá různé zajímavé věci,
podívejte se na to. Nyní si můžeme najít
bod x rovno 1. Vidíme, že y je e lomeno 3, i když zde
je to napsané pomocí desetinného rozvoje. Skutečně to vypadá, že sklon
křivky v tomto bodě je 0, tedy že tečna v tomto
bodě bude vodorovná přímka. Naše odpověď
tedy vypadá dobře.