Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 11: Podílové pravidloDerivování racionálních funkcí
Zderivujeme racionální funkci (5-3x)/(x²+3x). Tato funkce (a stejně tak i jakákoliv jiná racionální funkce!) může být zderivována pomocí pravidla o derivaci podílu.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Nechť y je rovno 5 minus 3x,
to celé lomeno x na druhou plus 3x. Chceme spočítat, kolik
je derivace y podle x. Všimněme si, že y je podílem
dvou výrazů, tedy racionální funkcí. Dané výrazy můžeme
vidět jako dvě funkce. První označíme
jako u(x) a druhou v(x). Proto derivace y je vlastně
derivací podílu dvou funkcí. A tak použijeme pravidlo
o derivaci podílu. Nezapomeňme, že pravidlo o derivaci podílu
lze zjistit z pravidla o derivaci součinu, které je snáze
zapamatovatelné. Použijme nyní pravidlo o derivaci
podílu na nalezení derivace y podle x. Máme derivaci u(x) krát v(x)
minus u(x) krát derivace v(x) a to celé je vyděleno
v(x) na druhou. Nyní stačí zjistit derivace u(x) a v(x),
a pak vše dosadit do výrazu. Derivace u(x), tedy 5 minus 3x, je rovna
derivace 5, což je 0, derivace -3x je -3. Pokud je to nejasné, pak je vhodné
si připomenout pravidla pro derivování, speciálně pravidlo o derivaci
mocninné funkce. Nyní vypočítejme
derivaci v(x). Nejprve zderivujme x na druhou. Vyndáme
2 ven a získáme x na první. Takže 2x. A konečně,
derivace 3x je 3. Celkem máme
2x plus 3. Nyní již zbývá provést
dosazení do výrazu. Derivace
u(x) je −3. v(x) je
x na druhou plus 3. u(x) je
5 minus 3x. Derivace v(x) je
2x plus 3. Nakonec zde za v(x) dosaďme
x na druhou plus 3x. Co jsme získali? Trochu to upravíme. Nejprve tuto část. Roznásobme −3 krát
(součet x na druhou a 3x). Což je
−3x na druhou minus 9x. Od toho odečtěme součin
těchto dvou výrazů. Roznásobením dostaneme 10x plus
15 minus (6x na druhou) minus 9x. Zjednodušme výraz odečtením
10x a 9x, což je x. Podívejme se
na jmenovatel. Můžeme roznásobit, ale nechme ho v tomto
tvaru, druhá mocnina x na druhou plus 3x. Zjednodušme výraz
ještě o kousek. V čitateli je −3x na druhou minus 9x minus
x minus 15 plus 6x na druhou. A ve jmenovateli pak je druhá
mocnina součtu x na druhou a 3x. Nakonec zjednodušme čitatel. −3x na druhou plus 6x na druhou
je 3x na druhou. A dále, −9x
minus x je −10x. A nakonec máme −15. Celkem tedy máme 3x na druhou
minus 10x minus 15 a to celé děleno druhá mocnina
ze součtu x na druhou a 3x. A jsme hotovi.