Příklad: pravidlo o derivaci podílu s tabulkou

Mějme funkci f takovou, že f(−1) je rovno 3 a derivace f(−1) je rovna 5. Dále funkce g je definovaná jako 2 krát x na třetí. A konečně F je podíl f a g. Zadáním je vypočítat derivaci F(−1). Nejprve vypočítáme derivaci F, a pak ji vyčíslíme v −1. Jelikož je F definována jako podíl dvou funkcí, tak k jejímu derivování se bude hodit pravidlo o derivaci podílu. Pravidlo o derivaci nyní bude velmi užitečné, avšak pokud bychom ho zapomněli, tak ho můžou zastoupit pravidla o derivaci součinu a o derivaci složené funkce. Napišme si nyní pravidlo o derivaci podílu. Máme funkci F s funkcí f v čitateli a s funkcí g ve jmenovateli. Pak derivace F(x) bude, podle pravidla o derivaci podílu, následující: derivace f(x) krát g(x) minus f(x) krát derivace g(x) a to celé je vyděleno g(x) na druhou. Můžeme použít různé způsoby zápisu derivace. Místo tohoto zápisu to můžete zapsat jako g(x) s čárkou, stejně tak f(x) s čárkou. Nyní budeme chtít vyčíslt derivaci F(x) v bodě −1. Jak na to? Pojďme to nějak zkusit. Derivace F(−1) bude rovna tomuto… Všude za x dosadíme -1. Derivace f(−1) krát g(−1) minus f(−1) krát derivace g(−1) a to celé děleno g(−1) na druhou. Nyní je třeba zjistit jakou hodnotu mají jednotlivé členy výrazu. Některé z nich už známe. V zadání je popsána f a její derivace v −1. Vyčíslení pro funkci g musíme ještě dopočítat. g(−1) je rovno 2 krát −1 na třetí. Jelikož −1 na třetí je rovno −1, tak g(−1) je rovno −2. Na zjištění derivace g(x) použijeme pravidlo o derivaci mocninné funkce. Vyndáme 3 ven a dostaneme 6 krát x na druhou. Tedy derivace g(−1) je rovna 6 krát −1 na druhou. -1 na druhou je prostě 1. Tedy derivace g(−1) je rovna 6. Nyní známe všechny potřebné členy. Ze zadání derivace f(−1) je rovna 5. g(−1) je rovno −2. f(−1), známe ze zadání, je 3. Derivace g(−1) je 6. A konečně, g(−1) ještě doplnit sem. Zbývá výraz zjednodušit. 5 krát −2 je −10. Od toho odečteme 3 krát 6, tedy 18, a to celé vydělíme −2 na druhou, tedy 4. Celkem dostaneme −28 děleno 4, tedy −7. Z počátku vypadá příklad obtížně. Avšak nejprve je třeba si všimnout, že je třeba použít pravidlo o derivaci podílu. A jeho části buďto přímo vypočteme, jako v případě g, a nebo už známe ze zadání, jako v případě f. Nic složitého.