Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 11: Podílové pravidloPříklad: pravidlo o derivaci podílu s tabulkou
Se zadanými hodnotami f a f' a x=-1 a funkcí g(x)=2x³ najdeme derivaci F(x)=f(x)/g(x) v x=-1.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Mějme funkci f takovou, že f(−1)
je rovno 3 a derivace f(−1) je rovna 5. Dále funkce g je definovaná
jako 2 krát x na třetí. A konečně F
je podíl f a g. Zadáním je vypočítat
derivaci F(−1). Nejprve vypočítáme derivaci F,
a pak ji vyčíslíme v −1. Jelikož je F definována
jako podíl dvou funkcí, tak k jejímu derivování se bude
hodit pravidlo o derivaci podílu. Pravidlo o derivaci nyní bude velmi
užitečné, avšak pokud bychom ho zapomněli, tak ho můžou zastoupit pravidla o derivaci
součinu a o derivaci složené funkce. Napišme si nyní pravidlo
o derivaci podílu. Máme funkci F s funkcí f v čitateli
a s funkcí g ve jmenovateli. Pak derivace F(x) bude, podle
pravidla o derivaci podílu, následující: derivace f(x) krát g(x) minus
f(x) krát derivace g(x) a to celé je vyděleno
g(x) na druhou. Můžeme použít různé
způsoby zápisu derivace. Místo tohoto zápisu to můžete zapsat jako
g(x) s čárkou, stejně tak f(x) s čárkou. Nyní budeme chtít vyčíslt
derivaci F(x) v bodě −1. Jak na to? Pojďme to
nějak zkusit. Derivace F(−1) bude
rovna tomuto… Všude za x
dosadíme -1. Derivace f(−1) krát g(−1)
minus f(−1) krát derivace g(−1) a to celé děleno
g(−1) na druhou. Nyní je třeba zjistit jakou hodnotu
mají jednotlivé členy výrazu. Některé z nich
už známe. V zadání je popsána
f a její derivace v −1. Vyčíslení pro funkci g
musíme ještě dopočítat. g(−1) je rovno
2 krát −1 na třetí. Jelikož −1 na třetí je rovno −1,
tak g(−1) je rovno −2. Na zjištění derivace g(x) použijeme
pravidlo o derivaci mocninné funkce. Vyndáme 3 ven a
dostaneme 6 krát x na druhou. Tedy derivace g(−1) je rovna
6 krát −1 na druhou. -1 na druhou
je prostě 1. Tedy derivace g(−1)
je rovna 6. Nyní známe všechny
potřebné členy. Ze zadání derivace
f(−1) je rovna 5. g(−1) je rovno −2. f(−1), známe ze
zadání, je 3. Derivace
g(−1) je 6. A konečně, g(−1)
ještě doplnit sem. Zbývá výraz
zjednodušit. 5 krát −2 je −10. Od toho odečteme 3 krát 6, tedy 18,
a to celé vydělíme −2 na druhou, tedy 4. Celkem dostaneme −28
děleno 4, tedy −7. Z počátku vypadá
příklad obtížně. Avšak nejprve je třeba si všimnout, že je
třeba použít pravidlo o derivaci podílu. A jeho části buďto přímo
vypočteme, jako v případě g, a nebo už známe ze
zadání, jako v případě f. Nic složitého.