3. Výpočet bodu dotyku

(klepání a zvuk činelů) Skvěle. Doufám, že už máte nějakou představu o vztahu mezi délkami částí rozdělené úsečky na diagramu znázorňujícím body dotyku. Připomínám, že naším cílem je získat vzoreček, pomocí kterého si budeme schopni vypočítat body dotyku. Ty totiž potřebuje počítač pro vytvoření parabolického oblouku, samotný string art ani žádné další body znát nepotřebuje. Já se s vámi nyní podělím o svou hypotézu. Nejdřív se podívejme na diagram, když je parametr ,t' nastaven na středový bod. Tedy i tečná úsečka je přesně uprostřed string artu. Tento bod je středem horní úsečky a tento bod je středem spodní úsečky. Bod dotyku také vypadá, že je středem celé string art úsečky. V tomto případě jsou tedy všechny poměry shodné. Pojďme nyní parametr ,t' nastavit na hodnotu 0,25. Tento bod je ve čtvrtinové vzdálenosti na této úsečce, tento bod je ve čtvrtinové vzdálenosti na této úsečce. Tady to vypadá, že je bod dotyku ve čtvrtině úsečky string artu. Všechny poměry se zdají býti shodné. Zkusíme si teď nastavit hodnotu ,t' třeba na 0,7. Tento bod je tedy v poloze 0,7 krát délka úsečky. Tento taktéž. A vypadá to, že i bod dotyku rozděluje parabolu v poměru 7 ku 3. To nás dovede k tomu, že pokud tenhle bod je zlomkem ,t' na této úsečce, stejný zlomek ,t' určuje polohu bodu na této úsečce a stejný případ je i pro určení bodu na parabole. Pojďme to převést do vzorečků. Nejprve si označíme důležité body. Krajní body si označíme jako A, B a C. Bod na úsečce AB si označím jako Q. Na úsečce BC bod označím jako R. A bod dotyku, který chceme najít, si označíme jako P. Musí platit, že pokud tato vzdálenost je rovna ,t', pak tato vzdálenost musí být 1 − t. Stejně tak tento bod dělí úsečku v poměru t ku 1 − t a zde to samé. Pokud se na to podíváme z algebraického úhlu pohledu, zjistíme, že Q se rovná (1 − t)·A + t·B Ta písmenka tam jsou proto, že se pohybujeme na úsečce AB. Bod R je na úsečce BC s parametrem ,t' určujícím jeho polohu. Platí, že R se rovná (1 − t)·B + t·C A bod P je na úsečce QR s parametrem ,t' určujícím jeho polohu. Proto platí, že P se rovná (1 − t)·Q + t·R S využitím těchto tří rovnic můžeme vypočítat kterýkoli bod na parabole, s tím, že budeme pouze měnit parametr ,t'. V následujícím cvičení si použití těchto rovnic procvičíte na několika příkladech.