1. Vážený průměr dvou bodů

Zatím jsme řešili jen geometrii a obrázky a to je přesně to, co dělají naši umělci. V Pixaru ale taky tvoříme počítačové programy. A počítače nejlépe pracují s čísly, rovnicemi a algebrou. Nějak musíme propojit tyto dva světy, obrázky a geometrii s čísly a rovnicemi. Propojení těchto dvou světů je vlastně to, co mě přitáhlo k počítačové grafice. Přijde mi fascinující, jak geometrie a algebra společně vytváří umění. Takže si teď vyjádříme vzorec pro vypočítání bodů ležících na parabole. Umožní nám to napsat programy, které nakreslí parabolu bez pomocných přímek. Jako první zobecníme průměr, z aritmetického na vážený průměr. Podívejme se znovu na úsečku AB, ale místo určení středu předpokládejme, že chceme bod M, a že B má 2 krát větší váhu než A. Na jiné váze bodů A a B není nic speciálního. Je to jenom jednoduchý příklad bodu, který není středem. Takže podle algebry je M jedna kopie A plus dvě kopie B. A potom to musíme vydělit třemi, abychom získali průměr. Mohu to zjednodušit na (A plus 2B) lomeno 3. A finální vzorec je 1/3 A, protože před A je vlastně 1, a před B je 2/3 takže 2/3 B. Všimněte si, že 1/3 plus 2/3 je 1. A tak dokážeme, že je to náležitý průměr. Tak to byla algebra a teď je na řadě geometrie. Ta říká, že vzdálenost mezi body A a M bude v poměru 2/3 ke vzdálenosti mezi M a B, která je 1/3. Všimněte si, že dle algebry 2/3 náleží B, zatímco v geometrii jsou 2/3 protilehlé B. Na první pohled to může vypadat zvláštně, ale po zamyšlení to dává smysl. Pokud je před B velká váha, tak byste předpokládali, že tento bod bude blízko B. Nyní můžeme ještě více zjednodušit, když nahradíme 2/3 libovolným zlomkem, třeba t. Takže t bude v algebře náležet B. Pro řádný průměr musím přidat něco před A. Koeficient před A plus t musí být 1. Tedy to něco je zlomek 1-t. Takže výraz je 1-t krát A plus t krát B. To je algebra této obecné situace. Podle geometrie jsou 2/3 nahrazeny t, a 1/3 je zastoupena 1-t. Zkusme to dostat více pod kůži pomocí této animace. Tady mám úsečku, kterou mohu hýbat. Vidíte souřadnice bodů A a B. Právě teď jsou váhy shodné, takže hledaný bod je středem. Takže mám polovinu před oběma A i B. Přesunutí bodu pak odpovídá změnám t. Díky různým hodnotám t, dostanu různé pozice na této úsečce. V následujících cvičeních se budeme moct procvičit ve váženém průměru.