Potenciální energie pružiny (obsahuje matematickou chybu)

Vítejte zpátky. Pojďme vyřešit příklad s potenciální energií stlačené pružiny. Vymyslíme si něco zajímavého. Řekněme, že máme smyčku, vyrobenou z ledu. Z ledu, abychom mohli zanedbat tření. Teď ji nakreslím. Tady je smyčka. A řekněme, že poloměr smyčky je 1 metr. Řekněme, že toto je 1 metr, takže samozřejmě výška smyčky je 2 metry. A řekněme, že tady mám pružinu, stlačenou pružinu. Tady je zeď a tady je stlačená pružina, která je úplně stlačená. A řekněme, že tuhost pružiny... ...k je třeba 10. A k pružině mám připojenou kostku ledu, protože potřebuji mít led na ledu, abych mohl zanedbat tření. Toto je moje lesknoucí se kostka ledu. A řekněme, že moje kostka váží 4 kilogramy. A taky víme, že se nacházíme na Zemi, což je důležité, protože kdybychom byli na jiné planetě, měla by tato úloha jiné řešení. A má otázka pro Vás je, jak moc musíme pružinu stlačit abychom... ...řekněme, že rovnovážná poloha pružiny byla tady. Takže kdybychom na ni netlačili, byla by tady. Ale teď je stlačená tady. Takže jaká je to vzdálenost? Jak moc musím pružinu stlačit, aby, když ji pustím, udělila kostce ledu dostatečnou rychlost a energii na překonání celé ledové smyčky a bezpečně se dostala na druhou stranu? Jak tedy vyřešíme tento příklad? Největší problém pro kostku ledu je dosažení nejvyššího bodu té smyčky. Musíme si být jistí, že má v tom bodě dostatečnou rychlost, aby nespadla dolů. Její rychlost musí vyrovnat zrychlení působící dolů. ...V tomto případě se jedná o dostředivé zrychlení.... Na to musíme myslet. Můžete si říkat "Oh, to je komplikované, mám pružunu, která udělí kostce ledu zrychlení. A pak se kostka dostane sem a bude zpomalovat a zpomalovat. Tady pravděpodobně bude nejpomalejší, a potom zase bude zrychlovat zpátky dolů. Je to super komplikovaný problém." Kdykoliv máte ve fyzice super komplikovaný problém, je to pravděpodobně proto, že ho řešíte super komplikovaně, ale může existovat jednoduché řešení. A tím je energie...potenciální a kinetická energie. Co jsme se o potenciální a kinetické energii naučili je, že se celková energie v izolované soustavě nemění. Pouze se přeměňuje z jedné formy na druhou. Takže z potenciální energie na kinetickou energii či na teplo. Předpokládáme, že teplo nevzniká, protože zanedbáme tření. Pojďme to tedy vyřešit. Co potřebujeme vědět je, jak moc musíme pružinu stlačit. Takže kolik potenciální energie musí pružina obsahovat, aby se při jejím uvolnění byla schopna dostat kostku ledu až sem nahoru. Co je vlastně potenciální energie? Řekněme, že stlačím pružinu o ‚x‛ metrů. Z minulého videa víme, kolik potenciální energie bude nyní v pružině uloženo. Naučili jsme se, že potenciální energie stlačené pružiny... ...v tomto případě počáteční potenciální energie... ...s indexem ‚i‛ se rovná 1/2 krát k krát x na druhou. Známe hodnotu k. Řekl jsem, že tuhost pružiny je 10. Takže počáteční potenciální energie bude 1/2 krát 10 krát x na druhou. A jaké složky energie máme v tomto bodě? Kostka ledu se v tomto bodě samozřejmě musí pohybovat, aby nespadla. Takže bude mít nějakou rychlost ‚v‛. Směr rychlosti je v daném bodě tečna ke smyčce. A kostka ledu bude mít pořád určitou potenciální energii. Odkud potenciální energie pochází? Protože se nachází ve vzduchu. Nad povrchem. Tudíž bude mít tíhovou potenciální energii. A také v tomto bodě bude mít kinetickou energii. Budeme jí říkat konečná kinetická energie. Konečná, protože o tuto nám jde... ...možná by konečná měla být tady, ale budeme říkat, že konečná je tato. Teď k ní přičteme konečnou potenciální energii. A součet nám samozřejmě musí dát 1/2 krát 10 krát x na druhou. Toto je potenciální energie pružiny a toto tíhová potenciální energie. Jaká je energie kostky v tomto bodě? Čemu se rovná kinetická energie? Konečná kinetická energie je rovna 1/2 krát hmotnost krát rychlost na druhou. Čemu se rovná potenciální energie v tomto bodě? Je to tíhová potenciální energie, tudíž se rovná hmotnost krát tíhové zrychlení krát výška. Napíši to sem. Tíhová potenciální energie bude hmotnost krát tíhové zrychlení krát výška. ...také označení pro Massachusettskou všeobecnou nemocnici... ...moje žena je totiž lékařka, takže si to můj mozek...no nic... Pojďme zjistit kinetickou energii v tomto bodě. Jaká musí být rychlost? Musíme nejdřív přijít na to, jaké je dostředivé zrychlení a z toho potom odvodíme rychlost. Víme, že dostředivé zrychlení je...změním si barvu... ...dostředivé zrychlení je rychlost na druhou lomeno poloměr smyčky. Nebo bychom řekli...jaké je odstředivé zrychlení v tomto bodě? Je to tíhové zrychlení 9,8 metrů za sekundu na druhou. Takže 9,8 metrů za sekundu na druhou je rovno rychlost na druhou lomeno poloměr. A jaký je poloměr smyčky? 1 metr. Takže v na druhou lomeno r je rovno v na druhou. Takže v na druhou je rovno 9,8. Můžeme to odmocnit nebo rovnou dosadíme za ‚v na druhou‛ do této rovnice. Tudíž konečná kinetická energie je rovna 1/2 krát hmotnost... ...krát 4 krát v na druhou...krát 9.8. A to se rovná.... ...budeme používat ‚g‛ místo 9,8, protože to tak bude zajímavější. Takže toto je prostě ‚g‛. Takže 2 krát g. Takže konečná kinetická energie je rovna 2g... ...a jednotka ‚g‛ je normálně kilogram metr sekunda na minus druhou, ale teď je to energie. Takže to bude v joulech. Ale je to 2 krát g. A jaká je potenciální energie v tomto bodě? Je rovna hmotnosti...což je 4... krát g krát výška...což je 2. Takže potenciální energie je rovna 8g. A jaká je celková energie? Kinetická je 2g, potenciální je 8g, takže celková energie je 10g. Když celková energie je v tomto bodě 10g, a neztratili jsme žádnou energii třením či přeměnou na teplo, tak celková energie v tomto bodě musí být také rovna 10g. V tomto bodě není žádná kinetická energie, protože se kostka ledu ještě nepohybuje. Takže všechna energie je nyní potenciální a musí se rovnat 10g. A ‚g‛ je pořád 9,8. Jen jsem to chtěl psát, jako ‚g‛, aby vám došlo, že je to násobek 9,8. Takže co nám vyjde... Vychází to hezky. Vydělíme obě strany 10 a vyjde nám, že x na druhou je rovno g, což je 9,8. takže x je odmocnina z g, což je... ...když odmocním 9,8, dostanu...asi 3,13 Takže x je 3,13. Právě jsme vyřešili zdánlivě složitý příklad, který ale nakonec nebyl těžký. Řekli jsme, že energie na začátku musí být rovna energii v jakémkoliv bodě za předpokladu, že se neztrácí třením či ve formě tepla. Takže jsme vyřešili, že když stlačíme pružinu o tuhosti 10 o 3,13 metrů, uložíme do ni dost potenciální energie na to... ...v tomto případě je potenciální energie 10 krát 9,8, takže zhruba 98 joulů. 98 joulů potenciální energie stačí k tomu, aby měla kostka na vrcholu dostatečnou rychlost na překonání celé smyčky, bez toho aby spadla. Kdybychom popřemýšleli, jaká je kinetická energie v tomto bodě? Je rovna 2g, takže asi 19,6 joulů. A v tomto bodě je celková energie 98 joulů. Mám to správně? Nicméně, dochází mi čas, tak doufám, že mám tu poslední část správně. Uvidíme se v dalším videu.