Potenciální energie uložená v pružině

Vítejte zpět. Máme tady zelenou pružinu a zeď. Tohle je připevněné ke zdi. Takhle vypadá ta pružina normálně. Nebudu-li na ní tlačit, bude takhle natažená. Ale v této situaci jsem na ni zatlačil, takže se konec posunul o x doleva. A budeme řešit jenom velikost výchylky, nebudeme si lámat hlavu směrem. Nejprve se chci zamyslet nad… Nejdřív chci vynést do grafu, jaká síla byla třeba ke stlačení pružiny. Pak ten graf použiji k výpočtu množství energie potřebné ke stlačení pružiny. Podívejme se na… Stlačuji směrem doleva. Možná bych měl stlačovat doprava, abyste… No, jen nás zajímá velikost osy x. Nakresleme si tu graf. Tohle je moje osa y a osa x. Tahle osa odpovídá míře stlačení x a osa y značí, kolik bylo třeba síly. Když byla pružina na začátku natažená, kolik síly bylo třeba k jejímu stlačení? Tohle je přirozený stav. A z Hookova zákona víme, že síla pružiny… Síla pružiny je -K, kde K je konstanta pružnosti, krát výchylka pružiny. To je síla pružiny, síla, kterou se pružina brání stlačení. Síla potřebná ke stlačení je stejná, ale působí stejným směrem jako x. Pokud stlačuji pružinu doleva, působím silou rovněž doleva. Nazvu ji kompresní silou. Kompresní síla bude K krát x. A když je pružina stlačená a žádným směrem nezrychluje, kompresní síla bude rovna síle pružiny. Teď bych rád nakreslil graf kompresní síly v závislosti na x. Měl jsem to nakreslit opačným směrem, ale vy víte, že se v mém případě x zvětšuje směrem doleva, že? Tady se x rovná 0. A řekněme, že tady je x rovno 10, protože jsme to stlačili o 10 metrů. Podívejme se, kolik síly bylo třeba. Když je x rovno 0, kolik síly potřebujeme ke stlačení pružiny? Pokud bude síla nulová, pružina se nepohne, ale jenom maličké množství síly pružinu maličko stlačí, že? Protože v tomto místě je kompresní síla prakticky nulová. Takže když je pružina sotva stlačená, je třeba působit skoro nulovou silou. Abyste vychýlili pružinu o 0, musíte působit nulovou silou. Abyste vychýlili pružinu o kousek, musíte zapůsobit trochu větší silou. Kolik síly je potřeba k vychýlení pružiny o 1 metr? Kolik síly musíme vynaložit, abychom tu výchylku udrželi? Pokud tohle je 1 metr, kompresní síla bude K krát 1, takže prostě K. Uvědomte si, že jste nepůsobili silou 0 a najednou K. Přidávali jste ji postupně. Pokaždé, když pružinu trochu stlačíte, musíte vynaložit víc síly, abyste ji stlačili víc. Abyste ji stlačili o 1 metr, potřebujete sílu K. Postupně zvyšujete množství síly. Ve 2 metrech jste museli vynaložit sílu 2K a tak dále. Vidíte, že se tu začíná tvořit přímka. Nakreslím ji. Vypadá nějak takto. Tohle je závislost množství síly, kterou musíte působit, na výchylce pružiny od jejího původního stavu. Tady mám kladné x směrem doprava, i když v mém případě směřuje doleva. Prostě měřím hodnotu výchylky. O směr se teď moc nezajímám. Chci se pozastavit nad tím, co se tady děje. Musíte pomalu přidávat… Můžete hned zapůsobit velkou silou. Pokud působíte velkou silou od začátku, pružina bude mít mnohem větší zrychlení, protože vaší síla mnohokrát překonává její. Takže zrychlí a pak se odpruží zpátky… Ukážeme si to na příkladu. Ale abyste vychýlili pružinu o určitou vzdálenost, stačí pomalu zvyšovat sílu natolik, abyste překonali sílu pružiny. Snad to dává smysl a vy rozumíte, že síla se zvyšuje přímo úměrně výchylce, protože tohle je lineární rovnice. Jaký je sklon této přímky? Sklon je změna ve svislém směru ku změně ve vodorovném směru. Takže když mám ve vodorovném směru změnu 1, jak je na tom svislý směr? Je to K. Takže sklon tohoto grafu je K. Takže použijme tento graf k určení, kolik práce spotřebujeme ke stlačení pružiny. Nevím, řekněme, že tohle je x0. Takže x je obecná proměnná, x0 je její konkrétní hodnota. Může to být 10 nebo cokoli. Podívejme se, kolik potřebujeme práce. Jaká je definice práce? Práce se rovná síle ve směru výchylky násobené velikostí výchylky. Podívejme se, jaká je naše výchylka. Od nuly až sem jsme se vychýlili o tolik. Jaká k tomu byla potřebná síla? Síla se pozvolna zvyšovala, takže bude přibližně taková. Opravdu musíte používat přibližné hodnoty. Takže síla je tak nějak ten čtvereček. K vychýlení o další kousek… To není dost jasné… Moje síla se musí drobet zvětšit. Takže tohle je síla, tohle dráha. Práce, kterou konám, je vlastně plocha pod křivkou, každý z těchto obdélníčků. Protože výška obdélníčku je moje síla a jeho šířka je výchylka. Celková práce bude součet těchto obdélníčků. Ty obdélníčky jsou jen přibližné, protože nejsou přesně pod čarou. Musíte je dělat menší a menší, a sčítat jich víc a víc. To už se dotýkáme integrálního počtu. Pokud integrály neznáte, nelámejte si tím hlavu. Ale teď víme, že práce, kterou konáme, bude odpovídat ploše pod touto křivkou. Takže práce, kterou vykonám, abych vychýlil pružinu o x metrů, je plocha odtud sem. Jak velká je ta plocha? Tohle je trojúhelník, potřebujeme znát délku základny, výšku a vynásobit to 1/2. To je obsah trojúhelníka. Jaká je základna? Tohle je prostě x0. Jaká je výška? Víme, že sklon je K, takže tato výška bude x0 krát K. Takže tenhle bod tady je x0 a pak x0 krát K. Jaká je celková plocha pod křivkou, která odpovídá celkové práci, kterou jsem vykonal, abych stlačil pružinu o x0 metrů? Základna je x0, krát výška x0 krát K. A pak, protože je to trojúhelník, násobíme ještě 1/2. To je 1/2 K x0 na druhou. Pro ty z vás, co znají analýzu, je to stejné jako integrál Kx dx. To by mělo dávat smysl. Každý z těchto je malé dx. Ale nechci se tu moc zabývat analýzou, aby to lidi nemátlo. To je práce potřebná ke stlačení pružiny o x0. Nebo, pokud stanovíme výchylku x, můžete tuhle 0 vynechat. K čemu to je? Práce potřebná ke stlačení pružiny odpovídá potenciální energii v ní uložené. Pokud bych řekl, že mám pružinu s konstantou pružnosti 10, kterou jsem stlačil o 5 metrů, takže x je rovno 5 metrům, jakou potenciální energii mám v té pružině uloženou? Můžeme říct, že potenciální energie je 1/2 K krát x na druhou. rovná se 1/2 krát K je 10 krát 25, to se rovná 125. Samozřejmě práce a potenciální energie se měří v joulech. Takže tohle si musíte zapamatovat. Nebo nemusíte. Snad pochopíte, kde jsem to vzal, proto jsem tomu věnoval 10 minut. Tolik práce je třeba ke stlačení pružiny až sem, a tolik práce se v ní uloží. Pružinu můžete stlačit, ale i natáhnout. Pokud to znáte, můžeme začít dělat úlohy na potenciální energii v pružinách. Zkusíme to v dalším videu. Na viděnou!