Tah pro začátečníky

Koupil sis obří plechovku superpálivých papriček o hmotnosti 3 kilogramy a zavěsil ji dvěma provázky ke stropu, protože nechceš, aby na ně někdo chodil. Chceš zjistit tahovou sílu na obou provázcích. Jsou-li toto úhly sevřené provázky a stropem, jaké jsou tyto tahové síly? Tato úloha je obtížná. Je to pěkně ostrá úloha. Začněme něčím trochu snadnějším a k tomuto se vrátíme později. Uděláme to tak, protože ač je tato úloha obtížná a ty snadnější se dost liší, postup řešení těchto úloh je pořád stejný. Zkusím ti to předvést, dávej tedy dobrý pozor. I když se mohou podrobnosti lišit, obecná strategie je pořád stejná. Začněme něčím jednodušším. Začněme tímto krásným, červeným jablkem o hmotnosti 3 kilogramy, abychom měli pořád to stejné číslo. Na provázku visí tříkilogramové jablko. Chceme znát tahovou sílu působící na provázek. To je jednoduché. Postupuje se stejně jako u všech těchto úloh. I když je to jednoduché, budeme to řešit pořádně, ať víš, jak to vypadá. Nebude to trvat dlouho. Zakreslíme síly. Na jablko působí tíhová síla „m krát g“, neboť ta působí na všechna tělesa při povrchu Země. Máme tu tahovou sílu, jenže ta netlačí. Provázkem se nedá tlačit. Provázkem se dá táhnout, tahová síla T tedy bude působit vzhůru. To je vždy první krok – nakreslit silový diagram. Dále použijeme Newtonův druhý zákon ve vodorovném nebo svislém směru, případně obou, je-li to nutné. Uplatníme Newtonův druhý zákon, který vypadá nějak takto. Zrychlení v určitém směru je rovno celkové síle v tom směru dělené hmotností. Který směr zvolíme? Tady je to zřejmé. Zvolíme svislý směr, neboť ve vodorovném žádné síly nepůsobí. Dosadíme zrychlení. Pokud tu jablko jen tak visí a nepohybuje se, pak nezrychluje. Pokud tedy nevisí ve výtahu nebo raketě zrychlující směrem vzhůru. To by šlo, jen bys dosadil příslušné zrychlení. Pokud však jen v klidu visí ze stropu, toto zrychlení bude nulové. Bude se rovnat celkové síle. Tahová síla směrem vzhůru. Tento silový diagram kreslíme, abychom zjistili, co patří právě sem. Není to jen tak, abychom si malovali. Je tu strategický záměr. Kreslíme tyto síly abychom věděli, co dosadit do Newtonova druhého zákona. Pokud to tu není, nezakresluji to. Pokud to tu je, zakreslím to ve správném směru. Tahová síla tedy působí ve svislém směru a toto je svislý směr celkové síly. Dosadím tah sem. Směr nahoru bude kladný, tím pádem i tahová síla je kladná. A co „mg“? „mg“ míří dolů, má tedy znaménko minus. Vydělím hmotností. Teď už jen vyjádřím tahovou sílu. To je celý postup. Nakreslíš silový diagram, použiješ Newtonův druhý zákon a pak vyjádříš sílu. V tomto případě tahovou sílu. Vynásobím obě strany „m“. Nalevo stále zůstane 0, 0 se tedy rovná „t“ minus „mg“. Pokud z tohoto vyjádřím „t“, dostanu něco možná nepřekvapivého. Dostanu, že tah se rovná „mg“. A ty si řekneš: „No, co jsi čekal? S tím bylo víc práce, než z toho bylo užitku.“ Bylo jasné, že vyjde „mg“. Tahová síla musí vyrovnat tíhovou, je to tedy jen „mg“, proč jsme se s tím museli tak dřít? Důvodem je… Ano, je to „mg“. Nebude to však vždy „mg“. Chceš-li vědět, co dělat, když to zrovna „mg“ nebude, musíš vědět, jak tento postup používat. Proč to nebude rovno „mg“? Představ si toto. Řekněme, že tu mám dvojici tahových sil. Nebo začněme tím, že za provázek zatáhnu. Přijdu sem a zatáhnu za jablko. Někdo zatáhne za jablko silou 5 newtonů. Tažením jablka se provázek ještě více napne. Jak to budu řešit? V mém diagramu se objeví další síla. Prostě ji sem přidám. To je 5 newtonů. Míří dolů, když se tedy vrátím sem k mé celkové síle, musím 5 newtonů odečíst, neboť míří dolů. Udělám ten samý výpočet jako předtím. Vynásobím obě strany „m“. Tady budu mít dalších −5 newtonů. Když pak vyjádřím „t“, přičtu k oběma stranám „mg“ a přičtu k oběma stranám 5 newtonů. Toto bude moje síla. Co vyjde po vyčíslení? Hmotnost byla 3, máme tu tedy 3 kilogramy krát tíhové zrychlení, které je 9,8, ale aby vyšla hezká čísla, zaokrouhlíme jej na 10 metrů za sekundu na druhou. Tak se neztratíme v desetinných číslech. …plus 5 newtonů. Když tu jen tak visí, je to „mg“, když však působí další síly, není to „mg“. V tomto případě s 5 newtony směrem dolů vyjde 30 plus 5, tedy 35 newtonů. V nejjednodušším případě je to tedy rovno „mg“, ale s libovolnými dalšími silami už se to „mg“ nerovná. Kdyby tu bylo další lano táhnoucí směrem vzhůru, měli bychom dvě tahové síly směrem vzhůru. Mám tu druhou tahovou sílu v tomto směru. Co mám dělat teď? Musím přidat další T. Budu mít plus T. T plus T je 2T, teď mám tedy 2T tady a tady. Abych vypočítal T, jen vydělím 35 newtonů dvěma. Můžeš to dále komplikovat, stačí přidávat provazy a síly. Možná dostaneš pocit, že musíš dělat něco nového, ale nemusíš. Pokaždé nakreslíš silový diagram, pak použiješ Newtonův druhý zákon, pečlivě dosadíš známé síly a vyjádříš neznámou. Mate tě, proč je to 35 děleno 2? Dává to smysl. Celková síla dolů je 35 newtonů, neboť tu máme 30 newtonů tíhové síly. Máme 35 newtonů směrem dolů. Celková síla směrem vzhůru musí být 35. Jsou-li provazy připevněny na stejném místě, ponesou oba stejnou váhu. Dohromady musí nést 35 newtonů, každý z nich tedy nese polovinu. To byla nejsnazší verze úlohy, kterou jsme trochu zkomplikovali. Ještě více se zkomplikuje, přidáme-li úhly. Papričky visely šikmo. Musíme to zkusit. Musíme přidat úhel. Mějme tabuli visící na dvou provázcích. Jeden je vodorovný, druhý jde takto napříč. Co teď? Je snadné si usmyslet, že je třeba zkusit něco nového, nějakou novou strategii, ale to není nutné. Řešíš to úplně stejně. Nakreslíme naše síly. Máme tu tíhovou sílu mířící dolů. Tato tíhová síla je prostě „mg“. Řekněme, že hmotnost této tabule je rovněž 3 kilogramy. Dobrá, co tu máme dál? Budu tu mít tahovou sílu mířící vzhůru a doprava. Nemíří tímto směrem. Tahová síla táhne, netlačí. Tahová síla bude mířit tímto směrem. Nazveme ji T1. Toto je T1. Zde na mém silovém diagramu by to vypadalo takto. Mám tady T1 mířící nějak takto. Toto je moje T1. Mám tu ještě jednu sílu. Mám tuto vodorovnou sílu. Opět, ta síla netlačí. Je to provaz, může pouze táhnout. Táhne směrem doleva. Nazvu ji T2. Do silového diagramu vynesu T2 a to je vše. To jsou všechny síly. Normálovou sílu nemám. Lidé ji občas chtějí nakreslit, jsou zvyklí, že tu normálová síla je. Říkají: „A normálová síla, ne?“ Ne. Této tabule se nedotýká žádný povrch, pouze visí na špagátech. Jediná síla, co ji drží ve vzduchu, je svislá složka síly T1, to je vše. Toto jsou jediné síly, co máme. Co budeme dělat teď? Podobně jako v úloze s jablkem se obrátíme na Newtonův druhý zákon. Zrychlení bude rovno celkové síle dělené hmotností. Který směr zvolíme? Tady to není tak zřejmé. Máme tu síly ve vodorovném i svislém směru. Zde je moje rada: Hledej něco známého. V tomto případě znám hmotnost, která je 3 kilogramy, a znám tíhové zrychlení o velikosti 9,8, nebo v tomto případě 10. Tuto sílu znám, je to 30 newtonů, neboť 3 kilogrmay krát 10 metrů za sekundu na druhou je 30 newtonů. Znám tuto svislou sílu, začnu tedy ve svislém směru, neboť o něm už něco vím. Začnu ve směru y. F ve směru y. Začneme svislým směrem. Pokud uděláš chybu a začneš špatným směrem, není to konec světa. Zvol ten druhý směr. Není se čeho bát, pokud pokazíš jedno, pusť se do druhého. O nic nejde. Zrychlení ve svislém směru. Řekněme, že je tabule v klidu, prostě visí na provázcích. O žádné zrychlení se nemusíš starat. Pokud by tu však nějaké bylo, prostě bys ho sem dosadil. Není to o tolik těžší. Nula se rovná… Dobrá, co tu máme? Do čitatele dáme svislé síly. Tuto znám, je to 30 newtonů dolů. Budu mít −30 newtonů, neboť těch 30 newtonů míří dolů. Směr dolů považuji za záporný, směr nahoru je kladný. Toto je prostě „mg“. Mohl jsem to napsat jako „−mg“. Co tu mám dál? Mám sílu T1, T1 míří vzhůru, ale nemůžu ji sem dosadit celou, vzhůru míří jen část. T1 bych mohl přidat celou pouze pokud by celá mířila vzhůru. To však nedělá. Míří vzhůru jen zčásti. Tato část T1 míří tedy doprava. Tato část T1 táhne vzhůru. Bude to tato složka, která způsobuje, že tabule visí nahoře a nepadá dolů, neboť je to složka odporující tíhové síle. Tuto složku nazveme T1 ve směru y a tuto T1 ve směru x. Sem přičteme T1 ve směru y. A to je vše, toto jsou jediné síly ve svislém směru. T1x není svislá. Je vodorovná, stejně jako tato T2. Mám tu „T1y“ a „mg“. To jsou jediné dvě svislé síly. Teď vydělím hmotností. Můžu vynásobit obě strany hmotností. „m“ krát 0 je stále 0, vyjde 0 rovná se −30 newtonů plus T1y. Teď musíme určit… T1y se rovná čemu? Mohu z toho vyjádřit T1y. Přičtu k oběma stranám 30. Vyjde, že T1y se rovná +30 newtonů. To dává smysl. T1y je jediná složka vyrovnávající tíhovou sílu. Víme, že se vyrovnají, protože tu nemáme svislé zrychlení. T1y tedy musí být stejně velká jako tíhová síla. Nakreslil jsem to nesprávně. Měl jsem tu složku nakreslit přesně stejně velkou jako tuto, neboť musejí být stejné, musejí se vyrušit. Odtud mám však jen T1y. Chci znát celou T1. Jak spočítám, kolik je T1 a T2? Ty chci určit. Jaké jsou tahové síly? Nechci jen tuto složku, chci celou tahovou sílu. Teď tvrdím, že tato složka, T1y, je v nějakém vztahu k celkové T1 a klíčem k tomu vztahu je tento úhel. Mohu říct, že T1y, ať už je tento úhel jakýkoli… Můžeme použít goniometrii a říct, že sinus θ bude protilehlá ku přeponě. V tomto případě je odvěsnou protilehlou tomuto úhlu T1y. Budeme mít T1y děleno celkovou silou T1. Přepona je vždy celková tahová síla, v tomto případě síla T1. Teď můžeme vypočítat T1. Vynásobím obě strany T1, vyjde mi T1 krát sinus θ, pak vydělím obě strany sinem θ. Dostanu, že T1 se rovná T1y děleno sinus θ. Znám T1y. Je to 30 newtonů. Mám 30 newtonů, to je síla vzhůru, neboť musí vyrovnat tíhu. Dělím ji sinem tohoto úhlu. Jaký je ten úhel? Víme, že tento úhel je 30 stupňů. Mohl by ses přesvědčit sám, kdybych ten trojúhelník nakreslil. Pojďme zjistit, co je toto za úhel, neboť ten potřebujeme zjistit. Pokud je toto 30 a toto 90, toto musí být 60. Pokud je toto 60 a toto 90, pak toto musí být 30. Tento úhel je tedy 30 stupňů. Do tohoto sinu zadávám tedy úhel 30 stupňů. Dostanu 30 newtonů děleno sinem 30 stupňů, přičemž sinus 30 stupňů je 1/2. …děleno 0,5, dostanu tedy 60 newtonů. To se může zdát bláznivé, můžeš říct: „Zadrž, T1 je 60 newtonů? hmotnost celé tabule je jen 30 newtonů, jak může být tahová síla lana 60 newtonů?“ Chci říct, že kdyby visela na jediném provázku nad těžištěm, měli bychom tah 30 newtonů. Jak to může být 60 newtonů? Důvodem je, že 30 newtonů musí být tato část. To je jen část celkové tahové síly. Pokud je 30 newtonů část celkového síly, musí být celková tahová síla víc než 30. V tomto případě je 60 newtonů. Proto je v tomto případě větší, jelikož je napříč. Tato složka se musí vyrovnat s tíhovou silou a tento celek musí být větší, aby se jeho složka mohla rovnat tíhové síle. Dobrá, jak tedy spočítáme T2? Nemusíme vynalézat nic nového. Pokračujme pořád stejně, řekněme, že zrychlení ve vodorovném směru držíme se tedy Newtonova druhého zákona, i když chceme určit tuto druhou sílu. Tato síla je vodorovná, použijeme proto Newtonův druhý zákon ve vodorovném směru. Tabule nezrychluje, zrychlení je tedy 0. Oddělím ty výpočty čarou. To se rovná celková síla ve směru x. Dobrá, mám tu T1 ve směru x. Bude kladná, neboť míří vpravo a já považuji směr vpravo za kladný. Minus T2, a to celá T2. T2 nemusím rozkládat. T2 míří vodorovně celá. Vydělím to hmotností. Pak můžu obě strany vynásobit hmotností. Vyjde, že 0 se rovná T1x minus T2. Vyjádřím-li T2, přičtu-li T2 k oběma stranám, vyjde mi T2 rovná se T1x. Kolik je T1x? Víme, že T1 je 60 newtonů. Známe T1y, to je 30 newtonů. Jak velká je tato složka? Místo sinu teď můžeme použít kosinus. Použijeme kosinus θ, tedy 30 stupňů, neboť tento úhel je 30. Kosinus 30 bude přilehlá… To je tady T1x. …přilehlá odvěsna ku přeponě. Přepona je T1 a T1 známe, je to 60. Můžeme tedy vypočítat T1x. Vyjde, že T1x, vynásobím-li obě strany 60 newtony… Vyjde, že T1x je 60 newtonů krát kosinus 30. Kosinus 30 stupňů je (odmocnina ze 3) děleno 2. Dostanu 60 newtonů krát odmocnina ze 3 děleno 2, T1x je tedy… 60 děleno 2 je 30, toto je tedy 30 krát odmocnina ze 3 newtonů. To mohu dosadit sem. Toto je T1x. Je-li toto T1x, mohu říct, že tady je 30 krát odmocnina ze 3 newtonů. Podle Newtonova druhého zákona ve vodorovném směru se to musí rovnat T2. T2 se tedy rovná 30 krát odmocnina ze 3 newtonů. Vypočítali jsme to. T2 se tedy rovná 30 krát odmocnina ze 3 newtonů. To by nás nemělo překvapit. Tato síla zde, aby nedocházelo k vodorovnému zrychlení, musí být rovna této síle. Toto jsou jediné dvě vodorovné síly. Věděli jsme, že T1x bylo 30 krát odmocnina ze 3 newtonů. To jsme vypočítali. Znamená to, že i T2 musí být 30 krát odmocnina ze 3, aby se síly ve vodorovném směru vyrovnaly. Dobrá, dokázali jsme to. Vypočítali jsme T1, 60 newtonů. T2 vyšlo 30 krát odmocnina ze 3 newtonů. Teď jsme připraveni vyřešit super ostrou úlohu s papričkami. To uděláme v dalším videu.