Tah pro labužníky

Nadešel čas. Čas na pikantní úlohu s tahovou silou. Vrhněme se na to tady a teď. Máme plechovku superpálivých papriček zavěšenou na těchto lankách. Chceme znát tahovou sílu těchto lanek. Toto je skutečná úloha na tahovou sílu. Buďme upřímní. Toto tě možná na první pohled děsí. Možná si myslíš, že jsem přišel s úplně novým způsobem, jak to řešit. Zahodím vše, co jsme se až dosud naučili a vyzkouším něco zcela nového. A to je lež. Neměl by sis lhát. Použijeme ten samý postup, kterým jsme řešili snadné úlohy, neboť nás opět dovede k odpovědi. Buď opatrný. Neopouštěj původní strategii. Strategie funguje. Nejprve nakreslíme silový diagram. Tak to děláme vždycky. Silami jsou tíhová síla působící na plechovku papriček, která je „mg“. Má-li plechovka 3 kilogramy, víme, že 3 kilogramy krát přibližně 10, položíme-li „g“ rovno přibližně 10, aby nám vycházela hezká čísla, místo toho, abychom použili 9,8, řekneme, že „g“ je 10, 3 kilogramy krát 10 metrů za sekundu na druhou dá 30 newtonů. Tíhová síla směrem dolů je tedy 30 newtonů. Jaké další síly tu máme? Máme tuto T1 a pamatuj, tahové síly netlačí. Provazy netlačí, mohou jen táhnout, T1 bude tedy táhnout tímto směrem. T1 míří tudy. Pak budeme mít T2 táhnoucí tímto směrem, toto je tedy T2. T2 také táhne, jako každá tahová síla. Tahová síla táhne, nemůže tlačit. Mám tahovou sílu 2 mířící tímto směrem. To je vše, náš silový diagram. Žádné další síly tu nejsou. Nekreslím normálovou sílu, neboť plechovka se nedotýká žádného dalšího povrchu. Není tu normálová síla, jsou tu tyto dva tahy a síla tíhová. Teď uděláme to, co vždy. Dokončíme silový diagram a použijeme Newtonův druhý zákon v jednom nebo druhém směru. Pojďme na to. Řekněme, že zrychlení je rovno celkové síle v daném směru dělené hmotností. Který směr si zvolíme? Těžko říct, máme síly ve svislém i vodorovném směru. Můžeme zvolit jen ze dvou směrů, x nebo y. Zvolíme svislý směr, i když na tom moc nesejde. Známe však jednu ze sil ve svislém směru, tíhovou sílu o velikosti 30 newtonů. Obvykle se vyplatí začít směrem, ve kterém známe alespoň něco. Tak to tu zkusíme. Řekneme, že zrychlení ve svislém směru je rovné celkové svislé síle ku hmotnosti. Dosaďme. Pokud tu plechovka jen visí, není tu zrychlení, není to výtah, který by papričky vozil nahoru nebo dolů, ani to není raketa, prostě tu jen visí. Zrychlení bude rovno 0. To se bude rovnat celkové síle ve svislém směru. Co nám vyjde? Jaké máme ve svislém směru síly? Jedna z nich je těchto 30 newtonů tíhové síly. Míří dolů a my za kladný směr označíme směr vzhůru, směr dolů je tedy záporný. Zadám tedy −30 newtonů. Mohl jsem napsat „−mg“, ale už víme, že je 30 newtonů, napíšu tedy −30 newtonů. Pak tu máme T1 a T2. Obě míří vzhůru, ne však úplně. Míří vzhůru částečně, pak částečně doleva a částečně doprava. Částečně míří vzhůru. Do výpočtu zahrneme jen tuto svislou složku, kterou nazveme T1y, neboť výpočet uvažuje pouze síly ve svislém směru. Počítáme pouze se svislými silami, neboť jen ty ovlivňují svislé zrychlení. Tato T1y míří vzhůru, píšu tedy plus T1 ve směru y. S T2 je to podobné. Nemíří svisle úplně celá, pouze její část. Napíšu ji jako T2 ve směru y. Také míří vzhůru. Započítám ji jako plus T2 ve směru y. To je vše, to jsou všechny síly. Všimni si, že nelze dosadit celou sílu T2, neboť pouze její část míří vzhůru. Podobně musíme dosadit pouze svislou složku síly T1, neboť nemíří vzhůru celá. Pak vydělíme hmotností, která je 3 kilogramy. Vynásobíme-li obě strany 3 kilogramy, dostaneme 0 rovná se toto vše. Toto tedy pouze zkopíruji. Toto použijeme znovu, teď však není nic tady dole. Co tedy uděláme teď? Můžeš si myslet, že jsme v koncích. Chci říct, máme tu dvě neznámé a já nemůžu vypočítat ani jednu. Ani jednu z nich neznám, vím jen, že celkem dávají 30. Kdybych přičetl k oběma stranám 30, vyšlo by mi, že obě tyto svislé složky dají dohromady 30 newtonů. To dává smysl. Musí vyrovnat sílu mířící dolů. Neznám však ani jednu z nich, jak to mám tedy řešit? Zkusme to tak: Pokud se někdy v těchto rovnicích v jednom ze směrů zasekneš, prostě přejdi na další směr. Zkusme najít „a“ ve směru x. Pro „a“ ve směru x máme celkovou sílu ve směru x ku hmotnosti a zrychlení bude opět 0, za předpokladu, že tyto papričky vodorovně nezrychlují. Pokud tedy nejsou ve vagonu, kde by zrychlovalo vše… Tam bys měl vodorovné zrychlení. Kdyby se objevilo, o nic nejde, prostě jej sem dosadíme. Za předpokladu, že zrychlení je 0, neboť papričky tu jen tak visí a nemění svou rychlost, dosadíme 0. Budeme mít T1 ve směru x. Část tahové síly T1 působí ve směru x. Podobně část T2 působí ve směru x. Budeme jí říkat T2x. Použijeme jejich velikosti. Řekněme, že T2x je velikost síly, kterou T2 táhne směrem doleva a T1x je velikost, kterou T1 táhne doprava. Abychom je dosadili, musíme rozhodnout, zda budou kladné nebo záporné. Tato T1x bude tedy kladná, neboť táhne doprava. Směr doprava budeme považovat za kladný, jelikož to je běžná úmluva. T2x působí doleva. Přispívá záporně, tak tedy −T2 ve směru x. Doleva bude záporné. Vydělili jsme hmotností, která byla 3 kilogramy, opět vynásobíme obě strany 3 a vyjde 0 rovná se to samé co tu, pouze tedy zkopírujeme toto sem. Opět se můžeš obávat, že ani toto nevyřešíme. Mohu vyjádřit T1x, podívej však, co dostanu. Pokud bych k oběma stranám přičetl T2x, získám, že T1x se musí rovnat T2x. To dává smysl. Tyto síly musí být stejně velké, opačného směru, neboť se musí vyrušit, abychom ve směru x neměli zrychlení. Nenakreslil jsem to přesně, omlouvám se. Toto by mělo být stejně velké jako toto, musí se totiž vyrušit, neboť tu neexistuje vodorovné zrychlení. Co budeme dělat? Nemůžeme vyřešit tuto rovnici získanou ve směru x. Nemůžeme vyřešit ani tu ve směru y. Kdykoli se stane, že máš dvě rovnice a nemůžeš ani jednu vyřešit, neboť máš příliš mnoho neznámých, možná budeš muset dosadit jednu do druhé. Ani to nemohu udělat. Mám tu čtyři různé proměnné: T1x, T2x, T1y a T2y. To vše jsou čtyři různé proměnné a já mám jen dvě rovnice, nemohu to řešit. Použijeme takový trik, který je trochu komplikovaný. Toto vše musíme vyjádřit pomocí T1 a T2, abychom mohli rovnice řešit. Vyjádřím-li T1y pomocí tahové síly T1 a sinů a kosinů úhlů, T2y vyjádřím pomocí T2 a úhlů a to samé udělám pro T1x a T2x, budu mít dvě rovnice o dvou neznámých T1 a T2, a pak konečně budeme moct řešit. Pokud to nedávalo smysl, snažím se říct toto: Vyjádřeme T1y pomocí T1. Znám tento úhel, určeme ty ostatní. Ostatní úhly jsou, je-li toto 30, tento úhel dole musí být 30, neboť jde o střídavé úhly. Pokud mi to nevěříš, představ si tu velký trojúhelník, kde je toto pravý úhel. V tomto trojúhelníku, je-li toto 30 a tady je 90, musí být toto 60, neboť součet všech úhlů trojúhelníku je 180 stupňů. Je-li tento pravý úhel 90 stupňů a tento 60, tenhle musí být 30. Podobně tady je pravý úhel. Podívej. 60, 90, toto tedy musí být 30. Dostanu-li se sem dolů, tento úhel musí být 60. Stejně jako tento, neboť je střídavý, je tedy 60 stupňů. Je-li tento úhel 60 stupňů, tento úhel je 30. My můžeme určit tyto složky pomocí celkových vektorů. Jakmile je určíme, můžeme ty výrazy dosadit sem a budeme moct řešit. Jinými slovy, T1y bude… Jakmile si na to zvykneš, uvědomíš si, že toto je protilehlá strana… Tato složka bude T1 krát sinus 30, neboť je to protilehlá strana. Nedává-li to smysl, odvodíme to přímo tu. Tvrdíme, že sinus 30 je protilehlá ku přeponě. V našem případě je protilehlá odvěsna T1y, T1y ku T1 je tedy rovno sinus 30. Teď můžeme vyjádřit T1y tak, že vynásobíme obě strany T1. Vyjde, že T1y je rovno T1 krát sinus 30. To je to, co jsem tvrdil dole. Pardon, zapomněl jsem 1. T1y je T1 krát sinus 30. Pokud to samé uděláš s kosinem 30, získáš T1x rovno T1 kosinus 30. Podobně T2x bude rovno T2 kosinus 60, neboť toto je přilehlá strana. T2y bude T2 sinus 60. Pokud to nedává smysl, vrať se k definici sinu a kosinu, napiš si, co je protilehlá strana, co je přepona, uprav výraz a dostaneš toto. Pokud mi v tomto nevěříš, zkus si to samostatně. Takové jsou složky vyjádřené pomocí T2, T1 a příslušných úhlů. Proč to děláme? Děláme to proto, abych sem mohl dosadit a pracovat jen se dvěma proměnnými. Dosadím-li za T1y výraz T1 sinus 30 a za T2y výraz T2 sinus 60, podívej, co vyjde. Dostanu 0 rovná se −30 newtonů a pak plus T1y sinus 30… Můžeme to trochu upravit, sinus 30 je rovno 1/2. Napíšu pouze T1 děleno 2, neboť sinus 30 je 1/2. T2y bude T2 sinus 60, sinus 60 je odmocnina ze 3 děleno 2. Napíšu to jako T2 děleno 2, to celé krát odmocnina ze 3. Můžeš si myslet, že to není lepší. Chci říct, vypadá to strašně. Ale podívej, toto jsme vyjádřili pomocí T1 a T2. To samé udělám tady. Vyjádřím to pomocí T1 a T2 a pak můžeme řešit. T1x je T1 krát kosinus 30, toto tedy napíšu jako T1 krát kosinus 30, kosinus 30 je odmocnina ze 3 děleno 2, toto je tedy T1 děleno 2 krát odmocnina ze 3. To by mělo být rovno T2x, to je T2 kosinus 60, kosinus 60 je 1/2. T2x bude T2 děleno 2. Pokud to nedává smysl, dělám jen to, že nahrazuji jednotlivé složky jejich vyjádřením pomocí celkové velikosti. Dělám to, protože… Podívej, co mám. Mám jednu rovnici s T1 a T2 a druhou rovnici s T1 a T2. Teď už mohu rovnici řešit, neboť mám dvě rovnice se dvěma neznámými. Jednu z nich vyjádřím a dosadím do druhé rovnice. Tím dostanu jednu rovnici s jednou neznámou. Zvládneš matematickou část a vyřešíš úlohu. Vyřeším tuto jednodušší pro proměnnou T2. Vyjádřím-li T2, vyjde T2 rovná se… Mohu násobit obě strany 2, vyjde T1 krát odmocnina ze 3. T1 krát odmocnina ze 3, neboť tato a tato 2 se pokrátí. Vyjde, že T2 je rovno T1 krát odmocnina ze 3. To je skvělé. Tady mohu za T2 dosadit T1 krát odmocnina ze 3. Dělám to proto, abych získal jednu rovnici s jednou neznámou. Teď mám v rovnici pouze T1. Když to udělám, mám 0 rovná se minus… Víš co, prostě tu −30 přesuneme. Tady nás otravuje. Přičtu 30 k oběma stranám a přesunu výpočet sem. Dostaneme +30 rovná se… Pak budeme mít T1 ku 2 plus… …T1 krát odmocnina ze 3. Když za T2 dosadím T1 krát odmocnina ze 3, dostanu T1 krát odmocnina ze 3 a pak je tu další odmocnina ze 3, neboť T2 samo bylo T1 krát odmocnina ze 3. Beru tedy tento výraz, dosazuji za T2, pořád však musím T2 násobit odmocninou ze 3 a dělit 2. Co mi vyjde? Odmocnina ze 3 krát odmocnina ze 3 je 3. Máme T1 krát 3/2 plus T1 děleno 2. Vyjde 30 rovná se T1 ku 2. Už tam skoro jsme, slibuji. T1 ku 2 plus… toto bude T1 krát 3/2, tak tedy 3 krát T1 děleno 2, čemu se to rovná? T1 děleno 2 plus 3 krát T1 děleno 2 jsou 4 poloviny. To je 2 krát T1. To se krásně pročistilo. Toto je tedy 2 krát T1 a teď můžeme vypočítat T1. T1 je 30 děleno 2. Vydělím-li obě strany, tuto levou stranu dvěma a tuto pravou stranu také dvěma, získám T1 rovná se 30 děleno 2 newtonů. Měl bych tu používat jednotky, toto je 15 newtonů. Dokázal jsem to, 15 newtonů. T1 je 15 newtonů. Máme T1. To je jedna z nich. Jak dostaneme tu druhou? Musíme začít od začátku. Ne, nemusíme, to by bylo strašlivé. Stačí vzít tuto T1 a dosadit sem. Tak tedy T2, tady ji máme. T2 je T1 krát odmocnina ze 3. Stačí T1 vynásobit odmocninou ze 3. Vyjde, že T2 je 15 krát odmocnina ze 3 newtonů. Jakmile určíš jednu sílu, ta druhá je už snadná. Toto je pouze T2. T2 je 15 odmocnin ze 3 a T1 je 15. V případě, že jsi se zamotal, tady je shrnutí. Nakreslili jsme silový diagram, použili Newtonův druhý zákon ve svislém směru a nedokázali jej řešit, neboť tam bylo mnoho proměnných. Použili jsme Newtonův druhý zákon ve vodorovném směru, ten jsme však také nemohli řešit, neboť měl dvě proměnné. Všechny čtyři proměnné jsme vyjádřili pomocí T1 a T2 rozepsáním složek tvořící celkové vektory. Dosadili jsme získané výrazy a získali dvě rovnice obsahující pouze T1 a T2. Do jedné jsme za T2 dosadili T1 vyjádřené z druhé rovnice. Dostali jsme jedinou rovnici s jednou neznámou. Vypočítali jsme ji. Jakmile jsme měli T1, dosadili jsme ji do první rovnice, ze které jsme vyjádřili T2. Dosadili jsme těch 15 a určili druhou tahovou sílu. I když se tedy zdá, že Newtonův druhý zákon nikam nevede, vytrváš-li, dostane tě, kam potřebuješ. Dobrá práce.