Hlavní obsah

Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 1

Lekce 1: Co jsou to ryze imaginární čísla?

Úvod do ryze imaginárních čísel

Přečti si o imaginární jednotce i, o ryze imaginárních číslech a o druhých odmocninách záporných čísel.

Během svého studia matematiky sis nejspíš všiml/a, že některé kvadratické rovnice nemají žádné reálné řešení.

Ať už se budeš snažit, jak chceš, reálné řešení rovnice

x^{2} = - 1

se ti najít nepodaří. Není totiž možné, aby druhá mocnina reálného čísla byla záporná!

Rovnice

x^{2} = - 1

však má řešení v jiném číselném oboru zvaném obor komplexních čísel.

Imaginární jednotka

Základním stavebním kamenem tohoto číselného oboru je číslo

i

nazývané imaginární jednotka.

Pro číslo

i

platí následující:

$i = \sqrt{- 1}$ ‍
$i^{2} = - 1$ ‍

Z druhé rovnosti vidíme, že

i

je řešením rovnice

x^{2} = - 1

. Tato dosud neřešitelná rovnice má tedy po přidání imaginární jednotky řešení!

Ryze imaginární čísla

Číslo

i

rozhodně není osamocené! Když tuto imaginární jednotku vynásobíme různými reálnými čísly, získáme nekonečně mnoho ryze imaginárních čísel.

Například

3 i

i \sqrt{5}

- 12 i

jsou ryze imaginární čísla. Obecně jde o čísla tvaru

b i

, kde

b

je reálné číslo.

Když ryze imaginární čísla umocníme na druhou, poodhalíme trochu, jak souvisí s čísly reálnými. Ukažme si to na čísle

3 i

. Vlastnosti celočíselných exponentů stále platí, takže druhou mocninu čísla

3 i

spočítáme tak, jak jsme zvyklí.

$\begin{aligned} (3 i)^{2} & = 3^{2} i^{2} \\ = 9 i^{2} \end{aligned}$ ‍

Nyní využijeme toho, že

i^{2} = - 1

. Výraz tak můžeme dále zjednodušit:

$\begin{aligned} = 9 i^{2} \\ = 9 (- 1) \\ = - 9 \end{aligned}$ ‍

Vyšlo nám, že

(3 i)^{2} = - 9

, takže číslo

3 i

je druhá odmocnina z

- 9

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Kolik je $(4 i)^{2}$ ‍?

Které z následujících čísel je rovno druhé odmocnině z $- 16$ ‍?

Na ryze imaginární čísla lze tedy nahlížet jako na druhé odmocniny ze záporných čísel!

Zapisování ryze imaginárních čísel pomocí imaginární jednotky

V níže uvedené tabulce jsou příklady toho, jak lze ryze imaginární čísla zapsat bez imaginární jednotky a s ní.

Bez imaginární jednotky	S imaginární jednotkou
$\sqrt{- 9}$ ‍	$3 i$ ‍
$\sqrt{- 5}$ ‍	$i \sqrt{5}$ ‍
$- \sqrt{- 144}$ ‍	$- 12 i$ ‍

Jak jsme ale přišli na to, jak čísla v levém sloupci zapsat pomocí imaginární jednotky?

Podívejme se podrobněji na to, jak můžeme s imaginární jednotkou zapsat první číslo v naší tabulce.

Platná rovnost	Odvození
$\begin{array}{r} \sqrt{- 9} = 3 i \end{array}$ ‍	Odmocnina z $- 9$ ‍ je ryze imaginární číslo. Odmocnina z $9$ ‍ je $3$ ‍, takže odmocnina z minus $9$ ‍ je rovna $3$ ‍ imaginárním jednotkám, což je $3 i$ ‍.

Právě provedené odvození můžeme zobecnit a matematicky zapsat takto:

Pro každé $a > 0$ ‍ platí: $\sqrt{- a} = i \sqrt{a}$ ‍

Pomocí tohoto vztahu a částečného odmocňování, které už známe z dřívějška, můžeme nyní ryze imaginární čísla značně zjednodušit.

Příklad

Číslo

\sqrt{- 18}

zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Řešení

Nejprve si všimněme, že

\sqrt{- 18}

je ryze imaginární číslo, protože jde o druhou odmocninu ze záporného čísla.

\sqrt{- 18}

tak můžeme pomocí imaginární jednotky přepsat jako

i \sqrt{18}

\sqrt{18}

lze však ještě zjednodušit částečným odmocněním.

Celý postup vypadá takto:

\begin{aligned} \sqrt{- 18} & = i \sqrt{18} & Pro každé a > 0 platí \sqrt{- a} = i \sqrt{a} \\ = i \cdot \sqrt{9 \cdot 2} & 9 dělí 18 a má celočíselnou odmocninu \\ = i \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} & \sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} pro a, b \geq 0 \\ = i \cdot 3 \cdot \sqrt{2} & \sqrt{9} = 3 \\ = 3 i \sqrt{2} & Násobení je komutativní \end{aligned}

Závěrem je, že

\sqrt{- 18} = 3 i \sqrt{2}

Zkus si nějaké příklady

Příklad 1

Číslo $\sqrt{- 25}$ ‍ zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Příklad 2

Číslo $\sqrt{- 10}$ ‍ zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Příklad 3

Číslo $\sqrt{- 24}$ ‍ zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Na co vůbec ryze imaginární čísla potřebujeme?

Odpověď je prostá. Díky imaginární jednotce

i

jsme schopni vyřešit mnoho rovnic, které v oboru reálných čísel žádné řešení nemají.

Může se to sice zdát podivné, ale ve skutečnosti je velmi časté, že nějaká rovnice je neřešitelná v jednom číselném oboru, zatímco v nějakém obecnějším číselném oboru řešení má.

Tady je několik příkladů takových rovnic a číselných oborů:

Rovnice $x + 8 = 1$ ‍ nemá v oboru přirozených čísel žádné řešení. Na vyřešení této rovnice potřebujeme celá čísla!
Pouze pomocí celých čísel však nenajdeme žádné řešení rovnice $3 x - 1 = 0$ ‍. Potřebujeme na to racionální čísla!
Rovnice $x^{2} = 2$ ‍ ale v oboru racionálních čísel nemá žádné řešení. K nalezení řešení potřebujeme iracionální čísla a obor reálných čísel!

Pouze s reálnými čísly však nedokážeme vyřešit rovnici

x^{2} = - 1

. Potřebujeme k tomu ryze imaginární čísla!

Postupem času uvidíš, že tato čísla mají v matematice velmi významnou roli.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.