If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Úvod do ryze imaginárních čísel

Přečti si o imaginární jednotce i, o ryze imaginárních číslech a o druhých odmocninách záporných čísel.
Během svého studia matematiky sis nejspíš všiml/a, že některé kvadratické rovnice nemají žádné reálné řešení.
Ať už se budeš snažit, jak chceš, reálné řešení rovnice x, squared, equals, minus, 1 se ti najít nepodaří. Není totiž možné, aby druhá mocnina reálného čísla byla záporná!
Rovnice x, squared, equals, minus, 1 však má řešení v jiném číselném oboru zvaném obor komplexních čísel.

Imaginární jednotka

Základním stavebním kamenem tohoto číselného oboru je číslo i nazývané imaginární jednotka.
Pro číslo i platí následující:
  • i, equals, square root of, minus, 1, end square root
  • i, squared, equals, minus, 1
Z druhé rovnosti vidíme, že i je řešením rovnice x, squared, equals, minus, 1. Tato dosud neřešitelná rovnice má tedy po přidání imaginární jednotky řešení!

Ryze imaginární čísla

Číslo i rozhodně není osamocené! Když tuto imaginární jednotku vynásobíme různými reálnými čísly, získáme nekonečně mnoho ryze imaginárních čísel.
Například 3, i, i, square root of, 5, end square root a minus, 12, i jsou ryze imaginární čísla. Obecně jde o čísla tvaru b, i, kde b je reálné číslo.
Když ryze imaginární čísla umocníme na druhou, poodhalíme trochu, jak souvisí s čísly reálnými. Ukažme si to na čísle 3, i. Vlastnosti celočíselných exponentů stále platí, takže druhou mocninu čísla 3, i spočítáme tak, jak jsme zvyklí.
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
Nyní využijeme toho, že i, squared, equals, minus, 1. Výraz tak můžeme dále zjednodušit:
(3i)2=9i2=9(1)=9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}
Vyšlo nám, že left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9, takže číslo 3, i je druhá odmocnina z minus, 9.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Kolik je left parenthesis, 4, i, right parenthesis, squared?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Které z následujících čísel je rovno druhé odmocnině z minus, 16?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Na ryze imaginární čísla lze tedy nahlížet jako na druhé odmocniny ze záporných čísel!

Zapisování ryze imaginárních čísel pomocí imaginární jednotky

V níže uvedené tabulce jsou příklady toho, jak lze ryze imaginární čísla zapsat bez imaginární jednotky a s ní.
Bez imaginární jednotkyS imaginární jednotkou
square root of, minus, 9, end square root3, i
square root of, minus, 5, end square rooti, square root of, 5, end square root
minus, square root of, minus, 144, end square rootminus, 12, i
Jak jsme ale přišli na to, jak čísla v levém sloupci zapsat pomocí imaginární jednotky?
Podívejme se podrobněji na to, jak můžeme s imaginární jednotkou zapsat první číslo v naší tabulce.
Platná rovnostOdvození
9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}Odmocnina z minus, 9 je ryze imaginární číslo. Odmocnina z 9 je 3, takže odmocnina z minus 9 je rovna start text, 3, end text imaginárním jednotkám, což je 3, i.
Právě provedené odvození můžeme zobecnit a matematicky zapsat takto:
Pro každé a, is greater than, 0 platí: square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
Pomocí tohoto vztahu a částečného odmocňování, které už známe z dřívějška, můžeme nyní ryze imaginární čísla značně zjednodušit.

Příklad

Číslo square root of, minus, 18, end square root zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Řešení

Nejprve si všimněme, že square root of, minus, 18, end square root je ryze imaginární číslo, protože jde o druhou odmocninu ze záporného čísla. square root of, minus, 18, end square root tak můžeme pomocí imaginární jednotky přepsat jako i, square root of, 18, end square root.
square root of, 18, end square root lze však ještě zjednodušit částečným odmocněním.
Celý postup vypadá takto:
18=i18Pro kazˇdeˊ a>0 platıˊ a=ia=i929 deˇlıˊ 18 a maˊ celocˇıˊselnou odmocninu=i92ab=ab pro a,b0=i329=3=3i2Naˊsobenıˊ je komutativnıˊ\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{Pro každé $a>0$ platí $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$ dělí $18$ a má celočíselnou odmocninu}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ pro } a, b\geq0}} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{Násobení je komutativní}}} \end{aligned}
Závěrem je, že square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.

Zkus si nějaké příklady

Příklad 1

Číslo square root of, minus, 25, end square root zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Příklad 2

Číslo square root of, minus, 10, end square root zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Příklad 3

Číslo square root of, minus, 24, end square root zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Na co vůbec ryze imaginární čísla potřebujeme?

Odpověď je prostá. Díky imaginární jednotce i jsme schopni vyřešit mnoho rovnic, které v oboru reálných čísel žádné řešení nemají.
Může se to sice zdát podivné, ale ve skutečnosti je velmi časté, že nějaká rovnice je neřešitelná v jednom číselném oboru, zatímco v nějakém obecnějším číselném oboru řešení má.
Tady je několik příkladů takových rovnic a číselných oborů:
  • Rovnice x, plus, 8, equals, 1 nemá v oboru přirozených čísel žádné řešení. Na vyřešení této rovnice potřebujeme celá čísla!
  • Pouze pomocí celých čísel však nenajdeme žádné řešení rovnice 3, x, minus, 1, equals, 0. Potřebujeme na to racionální čísla!
  • Rovnice x, squared, equals, 2 ale v oboru racionálních čísel nemá žádné řešení. K nalezení řešení potřebujeme iracionální čísla a obor reálných čísel!
Pouze s reálnými čísly však nedokážeme vyřešit rovnici x, squared, equals, minus, 1. Potřebujeme k tomu ryze imaginární čísla!
Postupem času uvidíš, že tato čísla mají v matematice velmi významnou roli.