If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Úvod do ryze imaginárních čísel

Přečti si o imaginární jednotce i, o ryze imaginárních číslech a o druhých odmocninách záporných čísel.
Během svého studia matematiky sis nejspíš všiml/a, že některé kvadratické rovnice nemají žádné reálné řešení.
Ať už se budeš snažit, jak chceš, reálné řešení rovnice x2=1 se ti najít nepodaří. Není totiž možné, aby druhá mocnina reálného čísla byla záporná!
Rovnice x2=1 však má řešení v jiném číselném oboru zvaném obor komplexních čísel.

Imaginární jednotka

Základním stavebním kamenem tohoto číselného oboru je číslo i nazývané imaginární jednotka.
Pro číslo i platí následující:
  • i=1
  • i2=1
Z druhé rovnosti vidíme, že i je řešením rovnice x2=1. Tato dosud neřešitelná rovnice má tedy po přidání imaginární jednotky řešení!

Ryze imaginární čísla

Číslo i rozhodně není osamocené! Když tuto imaginární jednotku vynásobíme různými reálnými čísly, získáme nekonečně mnoho ryze imaginárních čísel.
Například 3i, i5 a 12i jsou ryze imaginární čísla. Obecně jde o čísla tvaru bi, kde b je reálné číslo.
Když ryze imaginární čísla umocníme na druhou, poodhalíme trochu, jak souvisí s čísly reálnými. Ukažme si to na čísle 3i. Vlastnosti celočíselných exponentů stále platí, takže druhou mocninu čísla 3i spočítáme tak, jak jsme zvyklí.
(3i)2=32i2=9i2
Nyní využijeme toho, že i2=1. Výraz tak můžeme dále zjednodušit:
(3i)2=9i2=9(1)=9
Vyšlo nám, že (3i)2=9, takže číslo 3i je druhá odmocnina z 9.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Kolik je (4i)2?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Které z následujících čísel je rovno druhé odmocnině z 16?
Vyber 1 odpověď:

Na ryze imaginární čísla lze tedy nahlížet jako na druhé odmocniny ze záporných čísel!

Zapisování ryze imaginárních čísel pomocí imaginární jednotky

V níže uvedené tabulce jsou příklady toho, jak lze ryze imaginární čísla zapsat bez imaginární jednotky a s ní.
Bez imaginární jednotkyS imaginární jednotkou
93i
5i5
14412i
Jak jsme ale přišli na to, jak čísla v levém sloupci zapsat pomocí imaginární jednotky?
Podívejme se podrobněji na to, jak můžeme s imaginární jednotkou zapsat první číslo v naší tabulce.
Platná rovnostOdvození
9=3iOdmocnina z 9 je ryze imaginární číslo. Odmocnina z 9 je 3, takže odmocnina z minus 9 je rovna 3 imaginárním jednotkám, což je 3i.
Právě provedené odvození můžeme zobecnit a matematicky zapsat takto:
Pro každé a>0 platí: a=ia
Pomocí tohoto vztahu a částečného odmocňování, které už známe z dřívějška, můžeme nyní ryze imaginární čísla značně zjednodušit.

Příklad

Číslo 18 zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Řešení

Nejprve si všimněme, že 18 je ryze imaginární číslo, protože jde o druhou odmocninu ze záporného čísla. 18 tak můžeme pomocí imaginární jednotky přepsat jako i18.
18 lze však ještě zjednodušit částečným odmocněním.
Celý postup vypadá takto:
18=i18Pro každé a>0 platí a=ia=i929 dělí 18 a má celočíselnou odmocninu=i92ab=ab pro a,b0=i329=3=3i2Násobení je komutativní
Závěrem je, že 18=3i2.

Zkus si nějaké příklady

Příklad 1

Číslo 25 zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Příklad 2

Číslo 10 zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Příklad 3

Číslo 24 zapiš pomocí imaginární jednotky. Výsledek co nejvíce zjednoduš.

Na co vůbec ryze imaginární čísla potřebujeme?

Odpověď je prostá. Díky imaginární jednotce i jsme schopni vyřešit mnoho rovnic, které v oboru reálných čísel žádné řešení nemají.
Může se to sice zdát podivné, ale ve skutečnosti je velmi časté, že nějaká rovnice je neřešitelná v jednom číselném oboru, zatímco v nějakém obecnějším číselném oboru řešení má.
Tady je několik příkladů takových rovnic a číselných oborů:
  • Rovnice x+8=1 nemá v oboru přirozených čísel žádné řešení. Na vyřešení této rovnice potřebujeme celá čísla!
  • Pouze pomocí celých čísel však nenajdeme žádné řešení rovnice 3x1=0. Potřebujeme na to racionální čísla!
  • Rovnice x2=2 ale v oboru racionálních čísel nemá žádné řešení. K nalezení řešení potřebujeme iracionální čísla a obor reálných čísel!
Pouze s reálnými čísly však nedokážeme vyřešit rovnici x2=1. Potřebujeme k tomu ryze imaginární čísla!
Postupem času uvidíš, že tato čísla mají v matematice velmi významnou roli.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.