If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

i jako odmocnina z -1

Imaginární jednotka i se formálně definuje vztahem i²=-1, a ne jako √-1=i. Je k tomu dobrý, i když trochu technický důvod, který si nyní vysvětlíme. Tvůrce: Sal Khan.

Transkript

My už jsme si jednou říkali, že když budete tvrdit, že když i na druhou se rovná -1, tak že je logické, že i se rovná odmocnině z - 1 tak vám někteří lidé budou tvrdit, že to je špatně. Že tato úvaha je nesprávná. A půjdou na to logicky a hezky se vám to pokusí vysvětlit. Že tedy začneme s -1. Víme, že -1 se rovná i na druhou, tedy i krát i. A tady, řeknou, jste si napsali, že i je odmocnina z -1. Tak to pojďme dosadit. Takže i krát i je tedy odmocnina z -1 krát odmocnina z -1. A teď budu pokračovat dál. Máme jednu vlastnost odmocnin, která by nám mohla pomoct. Odmocnina z a krát b je to stejné jako odmocnina z a krát odmocnina z b. Tedy že odmocnina součinu se rovná součinu odmocnin jednotlivých činitelů. Pokud tato vlastnost platí, půjdeme tímto směrem, tak odmocnina z -1 krát odmocnina z -1 je to stejné jako odmocnina z -1 krát -1. -1 krát -1 je 1 a dostaneme odmocninu z 1. A to jak všichni víme je 1. A teď tito lidé dospěli do finiše. -1 se přece nerovná 1. To je přece úplně špatně. Proto toto nemůže platit. Jenže problém vůbec není v tom, že jsme si tu napsali, že i se rovná odmocnina z -1. Problém je v tom, že jsme tady použili špatně tuto vlastnost. Protože tato vlastnost platí pouze tehdy, když a a b nejsou obě záporná čísla. Když se učíte tuto vlastnost, často najdete poznámku, že platí pro a a b, které jsou větší nebo rovny 0 neboli pro nezáporná čísla. My se budeme pohybovat v číslech komplexních, kde už pracujeme se zápornými čísly pod odmocninou, takže nám stačí říct, že a a b nesmí být obě záporná. Tady je problém v této vlastnosti. Ne v tomto zápisu. I s tímto zápisem musíme být trošku opatrní. Hned si vysvětlíme proč. Zahrnu vás další várkou teorie. Když máme, tak jak jsme se učili, třeba odmocninu ze čtyř, tak napíšeme, že to je 2. Jenže odmocninou ze čtyř může být i číslo -2. Protože -2 krát -2 jsou také 4. Jenom pozor na to, proč to vlastně děláme. Odmocnina je totiž definovaná jako nezáporné číslo. A proto vždycky odmocninou bude nezáporné číslo a tedy odmocninou ze čtyř 2 a ne -2. Jenomže my se začínáme pohybovat v komplexních číslech, začínáme tady mít odmocniny záporných čísel a podobně takže bychom si mohli tu definici trochu rozšířit. Pokud tedy máme odmocninu z -x, tak si musíme říct, že můžeme mít v definičním oboru komplexní čísla, že nám tady mohou vstupovat komplexní čísla a také můžeme dostávat jako výsledek komplexní čísla. Že oborem hodnot jsou také komplexní čísla. Pokud řekneme, že je to takto, že definiční obor jsou komplexní čísla, potom můžeme říct, že odmocnina z -x je to stejné jako i krát odmocnina z x. Teď pozor na to, že toto bude platit jen tehdy, když x bude nezáporné, když x bude větší nebo rovno nule. Protože potom bychom se zase dostali do křížku s touto vlastností a měli bychom stejný problém, protože my teď můžeme napsat, že odmocnina z -x je i krát odmocnina z x, neboli víme, že i je odmocnina z -1 tedy odmocnina z -1 krát odmocnina z x, protože podle tohoto pravidla odmocnina z -1 krát odmocnina z x je odmocnina z -x. A tedy můžeme napsat tady tento horní řádek. Ale pouze pokud x je nezáporné číslo, protože tady bychom zase nemohli použít tuto vlastnost, kdyby x bylo záporné. Takže pokud rozšíříme tuto definici i pro komplexní čísla můžeme tvrdit toto a můžeme tvrdit, že i je odmocninou z -1.