Hlavní obsah

Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 1

Lekce 1: Co jsou to ryze imaginární čísla?

Mocniny imaginární jednotky

Přečti si o tom, jak počítat celočíselné mocniny imaginární jednotky. Například i²⁷ se zjednoduší na -i.

Už víme, že

i = \sqrt{- 1}

i^{2} = - 1

Čemu se ale rovná

i^{3}

? A co

i^{4}

? Jak vypadají další celočíselné mocniny čísla

i

? Jak je spočítat?

Výpočet $i^{3}$ ‍ a $i^{4}$ ‍

K výpočtu nám pomohou vlastnosti mocnin! Při počítání celočíselných mocnin čísla

i

totiž můžeme použít vlastnosti mocnin platné v oboru reálných čísel.

Když tohle víme,

i^{3}

i^{4}

už můžeme snadno spočítat.

Vlastnosti mocnin nám říkají, že

i^{3} = i^{2} \cdot i

. Protože

i^{2} = - 1

, dostaneme:

\begin{aligned} i^{3} & = i^{2} \cdot i \\ = (- 1) \cdot i \\ = - i \end{aligned}

Obdobně

i^{4} = i^{2} \cdot i^{2}

. Díky tomu, že

i^{2} = - 1

, máme:

\begin{aligned} i^{4} & = i^{2} \cdot i^{2} \\ = (- 1) \cdot (- 1) \\ = 1 \end{aligned}

Další mocniny čísla $i$ ‍

Pokračujme dál! Stejným postupem spočítejme další

4

mocniny čísla

i

\begin{aligned} i^{5} & = i^{4} \cdot i & Vlastnosti mocnin \\ = 1 \cdot i & protože i^{4} = 1 \\ = i \\ i^{6} & = i^{4} \cdot i^{2} & Vlastnosti mocnin \\ = 1 \cdot (- 1) & protože i^{4} = 1 a protože i^{2} = - 1 \\ = - 1 \\ i^{7} & = i^{4} \cdot i^{3} & Vlastnosti mocnin \\ = 1 \cdot (- i) & protože i^{4} = 1 a protože i^{3} = - i \\ = - i \\ i^{8} & = i^{4} \cdot i^{4} & Vlastnosti mocnin \\ = 1 \cdot 1 & protože i^{4} = 1 \\ = 1 \end{aligned}

Všechny zatím spočítané mocniny jsou zapsány v následující tabulce:

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Všimněme si pravidelnosti

Při pohledu na tabulku se zdá, že mocninami čísla

i

jsou pouze čísla

i

- 1

- i

1

, která se v tomto pořadí neustále opakují.

Dokážeme pomocí tohoto vzoru spočítat

i^{20}

? Pojďme to zkusit!

Prvních

20

mocnin by podle tedy mělo být:

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i^{20}

by se tak mělo rovnat

1

. Zkusme to taky řádně spočítat. Opět můžeme využít vlastnosti mocnin jako u reálných čísel.

\begin{aligned} i^{20} & = (i^{4})^{5} & Vlastnosti mocnin \\ = (1)^{5} & i^{4} = 1 \\ = 1 & Zjednodušení \end{aligned}

Vidíme, že skutečně

i^{20} = 1

Vysoké mocniny čísla $i$ ‍

Řekněme, že chceme spočítat

i^{138}

. Mohli bychom si sice vypsat čísla

i

- 1

- i

1

, ..., až bychom se dostali k

138.

členu, ale to by trvalo hodně dlouho.

Všimni si však, že

i^{4} = 1

i^{8} = 1

i^{12} = 1

atd. Číslo

i

umocněné na násobek $4$ ‍ se tedy vždy rovná

1

Tohoto faktu můžeme spolu s vlastnostmi mocnin využít k rychlejšímu výpočtu

i^{138}

Příklad

Spočítej

i^{138}

Řešení

138

sice není násobek

4

, ale číslo

136

už ano! Toho můžeme využít:

\begin{aligned} i^{138} & = i^{136} \cdot i^{2} & Vlastnosti mocnin \\ = (i^{4 \cdot 34}) \cdot i^{2} & 136 = 4 \cdot 34 \\ = (i^{4})^{34} \cdot i^{2} & Vlastnosti mocnin \\ = (1)^{34} \cdot i^{2} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot - 1 & i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}

Takže

i^{138} = - 1

Možná si říkáš, proč jsme

i^{138}

rozepsali zrovna jako

i^{136} \cdot i^{2}

Pokud původní exponent není násobkem

4

, můžeme najít nejbližší menší násobek

4

. Protože

i^{4} = 1

, hledaná mocnina se tím zjednoduší na

i

i^{2}

, nebo

i^{3}

Nejbližší menší násobek

4

se snadno najde tak, že původní exponent vydělíme

4

se zbytkem. Hledaným násobkem pak bude výsledek dělení (na případný zbytek zapomeneme) vynásobený číslem

4

Podívejme se na exponent

138

z našeho příkladu.

Níže je provedeno vydělení

138 : 4

se zbytkem.

Výsledek je 34. Pozn. překl.: Z technických důvodů i pro zajímavost ponecháváme americký zápis písemného dělení (výsledek se píše nad čáru úplně nahoru).

\begin{array}{r} 34 \\ 4 | \overset{―}{138} \\ - - (\underset{―}{120)} \\ 18 \\ - - (\underset{―}{16)} \\ 2 \end{array}

34 \cdot 4 = 136

. Toto je tedy nejbližší násobek

4

menší než

138

Zkus si nějaké příklady

Příklad 1

Spočítej $i^{227}$ ‍.

Příklad 2

Spočítej $i^{2016}$ ‍.

Příklad 3

Spočítej $i^{537}$ ‍.

Těžší příklad

Které z následujících čísel se rovná $i^{- 1}$ ‍?

Tuto úlohu můžeme snadno vyřešit pomocí vzoru, kterého jsme si všimli na začátku.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Namísto toho, abychom psali další čísla doprava (hodnoty mocnin pro exponenty

> 1

), však můžeme psát další čísla vlevo (hodnoty mocnin pro exponenty

< 1

). Chceme znát

i^{- 1}

, takže doleva stačí dopsat další dvě čísla.

	$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
			$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Doplněním prázdných míst podle vzoru dostaneme:

$i^{- 1}$ ‍	$i^{0}$ ‍	$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Závěrem tedy je, že

i^{- 1} = - i

K výsledku se lze dobrat také algebraicky, a to pomocí vlastností mocnin:

\begin{aligned} i^{3} & = i^{4} \cdot i^{- 1} \\ - i & = 1 \cdot i^{- 1} & protože i^{3} = - i a protože i^{4} = 1 \\ - i & = i^{- 1} \end{aligned}

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Komplexní čísla