If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Komplexní čísla

Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 1

Lekce 1: Co jsou to ryze imaginární čísla?
Matematika
Komplexní čísla
Úvod do komplexních čísel
Co jsou to ryze imaginární čísla?
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Mocniny imaginární jednotky

Učebna Google
Přečti si o tom, jak počítat celočíselné mocniny imaginární jednotky. Například i²⁷ se zjednoduší na -i.
Už víme, že i, equals, square root of, minus, 1, end square root a i, squared, equals, minus, 1.
Čemu se ale rovná i, cubed? A co i, start superscript, 4, end superscript? Jak vypadají další celočíselné mocniny čísla i? Jak je spočítat?

Výpočet i, cubed a i, start superscript, 4, end superscript

K výpočtu nám pomohou vlastnosti mocnin! Při počítání celočíselných mocnin čísla i totiž můžeme použít vlastnosti mocnin platné v oboru reálných čísel.
Když tohle víme, i, cubed a i, start superscript, 4, end superscript už můžeme snadno spočítat.
Vlastnosti mocnin nám říkají, že i, cubed, equals, i, squared, dot, i. Protože i, squared, equals, minus, 1, dostaneme:
i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}
Obdobně i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared. Díky tomu, že i, squared, equals, minus, 1, máme:
i4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}

Další mocniny čísla i

Pokračujme dál! Stejným postupem spočítejme další 4 mocniny čísla i.
i5=i4⋅iVlastnosti mocnin=1⋅iprotozˇe i4=1=ii6=i4⋅i2Vlastnosti mocnin=1⋅(−1)protozˇe i4=1 a protozˇe i2=−1=−1i7=i4⋅i3Vlastnosti mocnin=1⋅(−i)protozˇe i4=1 a protozˇe i3=−i=−ii8=i4⋅i4Vlastnosti mocnin=1⋅1protozˇe i4=1=1\begin{aligned} i^5 &= {i^4\cdot i}&&{\gray{\text{Vlastnosti mocnin}}} \\\\ &=1\cdot i&&{\gray{\text{protože }i^4=1}} \\\\ &= \blueD i \\\\ \\\\ i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&{\gray{\text{Vlastnosti mocnin}}} \\\\ &=1\cdot (-1)&&{\gray{\text{protože }i^4=1\text{ a protože }i^2=-1}} \\\\ &=\greenD{-1} \\\\ \\\\ i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&{\gray{\text{Vlastnosti mocnin}}} \\\\ &=1\cdot (-i)&&{\gray{\text{protože }i^4=1\text{ a protože }i^3=-i}} \\\\ &=\purpleD{-i} \\\\ \\\\ i^8 &= {i^4\cdot i^4}&&{\gray{\text{Vlastnosti mocnin}}} \\\\ &=1\cdot 1&&{\gray{\text{protože }i^4=1}} \\\\ &=\goldD 1 \end{aligned}
Všechny zatím spočítané mocniny jsou zapsány v následující tabulce:
i, start superscript, 1, end superscripti, squaredi, cubedi, start superscript, 4, end superscripti, start superscript, 5, end superscripti, start superscript, 6, end superscripti, start superscript, 7, end superscripti, start superscript, 8, end superscript
start color #11accd, i, end color #11accdstart color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54start color #7854ab, minus, i, end color #7854abstart color #e07d10, 1, end color #e07d10start color #11accd, i, end color #11accdstart color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54start color #7854ab, minus, i, end color #7854abstart color #e07d10, 1, end color #e07d10

Všimněme si pravidelnosti

Při pohledu na tabulku se zdá, že mocninami čísla i jsou pouze čísla start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab a start color #e07d10, 1, end color #e07d10, která se v tomto pořadí neustále opakují.
Dokážeme pomocí tohoto vzoru spočítat i, start superscript, 20, end superscript? Pojďme to zkusit!
Prvních 20 mocnin by podle tedy mělo být:
start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10
i, start superscript, 20, end superscript by se tak mělo rovnat start color #e07d10, 1, end color #e07d10. Zkusme to taky řádně spočítat. Opět můžeme využít vlastnosti mocnin jako u reálných čísel.
i20=(i4)5Vlastnosti mocnin=(1)5i4=1=1Zjednodusˇenıˊ\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&{\gray{\text{Vlastnosti mocnin}}}\\ \\ &= (1)^5 &&{\gray{i^4=1}}\\\\ &= \goldD 1 &&{\gray{\text{Zjednodušení}}}\end{aligned}
Vidíme, že skutečně i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1.

Vysoké mocniny čísla i

Řekněme, že chceme spočítat i, start superscript, 138, end superscript. Mohli bychom si sice vypsat čísla start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, ..., až bychom se dostali k 138, point členu, ale to by trvalo hodně dlouho.
Všimni si však, že i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1 atd. Číslo i umocněné na násobek 4 se tedy vždy rovná 1.
Tohoto faktu můžeme spolu s vlastnostmi mocnin využít k rychlejšímu výpočtu i, start superscript, 138, end superscript.

Příklad

Spočítej i, start superscript, 138, end superscript.

Řešení

138 sice není násobek 4, ale číslo 136 už ano! Toho můžeme využít:
i138=i136⋅i2Vlastnosti mocnin=(i4⋅34)⋅i2136=4⋅34=(i4)34⋅i2Vlastnosti mocnin =(1)34⋅i2i4=1=1⋅−1i2=−1=−1\begin{aligned} i^{138}&=i^{136}\cdot i^2&&{\gray{\text{Vlastnosti mocnin}}} \\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&{\gray{\text{Vlastnosti mocnin }}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&{\gray{i^4=1}} \\\\ &=1\cdot -1&&{\gray{i^2=-1}} \\\\ &=-1 \end{aligned}
Takže i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1.
Možná si říkáš, proč jsme i, start superscript, 138, end superscript rozepsali zrovna jako i, start superscript, 136, end superscript, dot, i, squared.
Pokud původní exponent není násobkem 4, můžeme najít nejbližší menší násobek 4. Protože i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, hledaná mocnina se tím zjednoduší na i, i, squared, nebo i, cubed.
Nejbližší menší násobek 4 se snadno najde tak, že původní exponent vydělíme 4 se zbytkem. Hledaným násobkem pak bude výsledek dělení (na případný zbytek zapomeneme) vynásobený číslem 4.

Zkus si nějaké příklady

Příklad 1

Spočítej i, start superscript, 227, end superscript.

Příklad 2

Spočítej i, start superscript, 2016, end superscript.

Příklad 3

Spočítej i, start superscript, 537, end superscript.

Těžší příklad

Které z následujících čísel se rovná i, start superscript, minus, 1, end superscript?
Vyber 1 odpověď:

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.