If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Mocniny imaginární jednotky

Přečti si o tom, jak počítat celočíselné mocniny imaginární jednotky. Například i²⁷ se zjednoduší na -i.
Už víme, že i=1 a i2=1.
Čemu se ale rovná i3? A co i4? Jak vypadají další celočíselné mocniny čísla i? Jak je spočítat?

Výpočet i3 a i4

K výpočtu nám pomohou vlastnosti mocnin! Při počítání celočíselných mocnin čísla i totiž můžeme použít vlastnosti mocnin platné v oboru reálných čísel.
Když tohle víme, i3 a i4 už můžeme snadno spočítat.
Vlastnosti mocnin nám říkají, že i3=i2i. Protože i2=1, dostaneme:
i3=i2i=(1)i=i
Obdobně i4=i2i2. Díky tomu, že i2=1, máme:
i4=i2i2=(1)(1)=1

Další mocniny čísla i

Pokračujme dál! Stejným postupem spočítejme další 4 mocniny čísla i.
i5=i4iVlastnosti mocnin=1iprotože i4=1=ii6=i4i2Vlastnosti mocnin=1(1)protože i4=1 a protože i2=1=1i7=i4i3Vlastnosti mocnin=1(i)protože i4=1 a protože i3=i=ii8=i4i4Vlastnosti mocnin=11protože i4=1=1
Všechny zatím spočítané mocniny jsou zapsány v následující tabulce:
i1i2i3i4i5i6i7i8
i1i1i1i1

Všimněme si pravidelnosti

Při pohledu na tabulku se zdá, že mocninami čísla i jsou pouze čísla i, 1, i a 1, která se v tomto pořadí neustále opakují.
Dokážeme pomocí tohoto vzoru spočítat i20? Pojďme to zkusit!
Prvních 20 mocnin by podle tedy mělo být:
i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1
i20 by se tak mělo rovnat 1. Zkusme to taky řádně spočítat. Opět můžeme využít vlastnosti mocnin jako u reálných čísel.
i20=(i4)5Vlastnosti mocnin=(1)5i4=1=1Zjednodušení
Vidíme, že skutečně i20=1.

Vysoké mocniny čísla i

Řekněme, že chceme spočítat i138. Mohli bychom si sice vypsat čísla i, 1, i, 1, ..., až bychom se dostali k 138. členu, ale to by trvalo hodně dlouho.
Všimni si však, že i4=1, i8=1, i12=1 atd. Číslo i umocněné na násobek 4 se tedy vždy rovná 1.
Tohoto faktu můžeme spolu s vlastnostmi mocnin využít k rychlejšímu výpočtu i138.

Příklad

Spočítej i138.

Řešení

138 sice není násobek 4, ale číslo 136 už ano! Toho můžeme využít:
i138=i136i2Vlastnosti mocnin=(i434)i2136=434=(i4)34i2Vlastnosti mocnin =(1)34i2i4=1=11i2=1=1
Takže i138=1.
Možná si říkáš, proč jsme i138 rozepsali zrovna jako i136i2.
Pokud původní exponent není násobkem 4, můžeme najít nejbližší menší násobek 4. Protože i4=1, hledaná mocnina se tím zjednoduší na i, i2, nebo i3.
Nejbližší menší násobek 4 se snadno najde tak, že původní exponent vydělíme 4 se zbytkem. Hledaným násobkem pak bude výsledek dělení (na případný zbytek zapomeneme) vynásobený číslem 4.

Zkus si nějaké příklady

Příklad 1

Spočítej i227.

Příklad 2

Spočítej i2016.

Příklad 3

Spočítej i537.

Těžší příklad

Které z následujících čísel se rovná i1?
Vyber 1 odpověď:

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.