If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Mocniny imaginární jednotky

Imaginární jednotka i je definována vztahem i²=-1. Čemu se potom rovná i³? i³=i²⋅i=-i. A co i⁴? i⁴=i²⋅i²=(-1)²=1. Jak vypadá i⁵? i⁵=i⁴⋅i=1⋅i=i. Po chvilce v těchto mocninách objevíme pravidelné opakování, pomocí kterého už rychle spočítáme iⁿ pro libovolné přirozené číslo n. Tvůrce: Sal Khan.

Transkript

V jednom z minulých videí jsme si ukazovali cyklus, kterým prochází mocniny i. Je to vždy 1, pak i, pak -1 a pak -i. A pak zase znova: 1, i, -1 a -i. A tak pořád dokola. A tento cyklus mocnin i můžeme použít i pro vyšší mocniny i, pro složitější příklady, a naučit se tak umocnit i prakticky na cokoli. Pojďme si to ukázat na nějakém složitějším příkladu. Zkusme si třeba umocnit i na stou. Tady je důležité si představit, uvědomit, že číslo 100 je dělitelné 4. Takže to můžeme napsat jako i na 4 krát dvacátou pátou. A máme-li tady 4 krát 25, tak to vlastně můžeme přepsat jako i na čtvrtou, to celé umocněno na dvacátou pátou. Poněvadž my víme, že pokud umocňujeme mocninu, tak exponenty násobíme. A toto tedy bude i na 4 krát 25, i na stou. Přesně jak to máme tady. Teď se podíváme, co tady máme. i na 4 krát 25. My už víme, že i na čtvrtou je 1. Takže to bude 1 na dvacátou pátou. A 1 na cokoli je vždy 1. Přesně jako tady. Co nějaký další příklad? Třeba i na pět set prvou. 501 už není číslo dělitelné 4, ale co kdybychom si toto rozložili na součin 2 i umocněných na nějaké číslo, z nichž jedno bude dělitelné 4. Číslo 500 je určitě dělitelné 4, takže bychom to mohli napsat jako i na pěti stou, umocněné na 500, krát i na prvou. Když násobíme, exponenty sčítáme, takže máme i na pětistou prvou. Stejně jako tady. i na pětistou si můžeme zase přepsat jako i na čtvrtou, to celé umocněné tentokrát na sto dvacátou pátou. Krát i na prvou. Můžeme si dopsat, nemusíme. Zase víme, že i na čtvrtou je 1, jak už máme nahoře a 1 na sto dvacátou pátou je vždy a stále 1 krát i na prvou a výsledkem tedy bude i. Co nám z tohoto teď vyplývá, když jsme si to takhle hezky vyzkoušeli? Určitě tedy můžeme říct, že i na jakékoli 4k, přičemž k si tady omezíme na jakékoli nezáporné číslo, k je větší nebo rovno 0. i na jakékoli 4k bude vždycky rovno 1. Pokud bychom si to chtěli ještě ověřit, abyste si neřekli, že jsme si to vycucali z prstu, tak i na 4k si můžeme napsat jako i na čtvrtou, to celé umocněné na k. i na čtvrtou je 1 a 1 na cokoli, jak už jsme říkali, je vždy 1. Takže opravdu i na 4k bude vždy 1. A pomocí tohoto můžeme počítat tyto složitější příklady. Tak si pojďme dát ještě nějaké další příklady. A teď už něco opravdu složitého, co bude vypadat hrozně. Tak třeba i umocněné na 7321. No, tak to už vypadá jako příklad, nad kterým strávíte celý večer a budete rádi, když ho spočítáte. Ale pomocí tohoto, to bude úplně jednoduché. Jaký nejvyšší násobek 4 se nám tady skrývá v tom čísle? Víme, že tisícovky jsou dělitelné čtyřmi, stovky také a pak tu máme ještě 21. Takže nejvyšší bude tady dvacítka a tak tu máme i na 7320 to je dělitelné čtyřmi krát i na prvou. i na 4k je 1, tak jak jsme si to tady napsali, zbyde nám i na prvou a výsledkem bude i. Takto jednoduché to je. A vypadalo to tak složitě. Co dalšího tady máme? Zkusme třeba i na devadesátou devátou. Nejvyšší násobek čtyřky, který v 99 můžeme najít, bude 96. Takže i na devadesátou šestou krát i na třetí. Tedy 96 plus 3 je 99. Stále děláme to samé. i na devadesátou šestou je 1, poněvadž je to i na 4k. 1 krát i na třetí, tedy i na třetí, to už si můžete pamatovat, že je -i a pokud si to nepamatujete, tak si to můžete spočítat. Můžete si říct, že je to i na druhou krát i a my už víme, že i na druhou je -1 krát i a dostaneme tedy -i. Takto. A dejme si ještě poslední příklad. Třeba i na třicátou osmou. Vidím násobek čtyřky v čísle 36, tedy i na 36 krát i na druhou i na třicátou šestou je 1, krát i na druhou. A je to tedy i na druhou. A to už dávno víme, že je -1. A máme hotovo.