Hlavní obsah
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 1
Lekce 12: Spojitost funkce na intervaluFunkce spojité v určitých bodech x
Rozhodneme, která z funkcí ln(x-3) a eˣ⁻³ je spojitá v bodě x=3. Obecně platí, že běžné funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Které z následujících funkcí
jsou spojité v bodě x rovno 3? Jak jsme si řekli
v minulém videu, aby byla funkce v daném bodě
spojitá, musí v něm být definovaná. Zopakovali jsme
si definici spojitosti. Funkce f je v bodě ‚a‘
spojitá právě tehdy, když limita f(x) pro x blížící se k ‚a‘
je rovna f v bodě ‚a‘. V našem příkladu
tedy řekneme, že funkce je spojitá
v bodě x rovno 3... f je spojitá v bodě
x rovno 3 právě tehdy, když se limita f(x) pro x blížící
se ke 3 rovná f v bodě 3. Podívejme se na
naši první funkci. Přirozený logaritmus
z (x minus 3). Zkusme nyní vyčíslit... teď to není funkce f, ale g... zkusme spočítat
g v bodě 3. g v bodě 3 se rovná
přirozenému logaritmu z 0, z 3 minus 3. To ale není
definováno. e nelze umocnit na takovou
mocninu, abychom dostali nulu. Můžete namítnout, že bych mohl
umocnit na minus nekonečno, ale toto není
definované. Protože g není v bodě x rovno 3
definovaná, nemůže v něm být ani spojitá. Tohle tak klidně
můžeme škrtnout. Teď funkce f(x) rovná
se e na (x minus 3). Jde jen o posunutou
funkci e na x. Toto je definované
pro všechna reálná čísla, a jak jsme viděli
v minulém videu, je rozumné říci, že f je
spojitá pro všechna reálná čísla. To si můžeme i ověřit. Limita z e na (x minus 3)
pro x blížící se ke 3, to se rovná e na (3 minus 3), což je e na nultou,
a to je 1. f je tak jako
jediná spojitá. Je dobré se podívat i na graf,
co se doopravdy děje. Obě dvě funkce
jsou jen posunuté... tohle je jen posunutý
přirozený logaritmus x, tohle je jen
posunutá funkce e na x. Takže pokud chceme,
můžeme si nakreslit osy. Tohle bude naše osa y. Tady bude osa x. Nakresleme si na
osách pár bodů. Tady bude 1. Taky tady bude 1. Tady budou 2 a 3. 2 a 3. A řekl jsem, že jde pouze
o posunuté funkce. Možná jsem to mohl
nakreslit trochu lépe. Raději to překreslím. Tady budou body
1, 2, 3, 4, 5, 6. Na druhé ose si
zvolím jiné měřítko. Tady budou body 1, 2, 3. Zde nakreslíme
přerušovanou čáru. Funkce g(x), tedy přirozený logaritmus
z (x minus 3), bude vypadat nějak takto. V bodě 3 není definovaná. Když za x dosadíme 4,
tak přirozený logaritmus ze 4... pardon, přirozený logaritmus
z (4 minus 1), takže to bude... pardon, přirozený
logaritmus z (4 minus 3)... Pro přehlednost sem raději
nakreslím tabulku, abych vás nemátl. Zde bude x a vedle g(x). V bodě 3 není
g definovaná. V bodě 4 je to přirozený
logaritmus z 1, což je 0. Funkce g(x) tak bude
vypadat nějak takto. Všimněte si, že v bodě
x rovno 3 dochází k nespojitosti. Nalevo od 3 není
g ani definovaná. Nakreslit graf funkce f(x)
je trochu jednodušší. Když máme... e na třetí bude... pardon, f v bodě 3 se rovná
e na (3 minus 3), což je e na
nultou, a to je 1. Funkce f tak bude
vypadat nějak takto. Nemá žádné
skoky ani díry. Je spojitá pro všechna
reálná čísla, tedy i v bodě 3.