If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:3:17

Funkce spojité na celém oboru reálných čísel

Transkript

Které z následujících funkcí jsou spojité pro všechna reálná čísla? Připomeňme si, co to jsou spojité funkce a jak vypadají. Spojité funkce… Tohle je y-ová osa a na x-ová osu. Funkci nazveme spojitou na nějakém intervalu, pokud nemá na daném intervalu žádné skoky nebo díry. Pokud je tedy spojená, bude určitě definovaná na celém intervalu a nebude mít žádné díry. Například, spojitá funkce může vypadat takto. Tato funkce je spojitá na tomto intervalu, který vidíme. Nyní uveďme příklady nespojitých funkcí na intervalu. Určitě budou muset mít nějaké díry. Můžou mít různé asymptotické nespojitosti. Třeba něco takového. Tohle vytvoří nespojitost. Nebo mohou mít nespojitost prvního druhu, může to vypadat takto. Můžou mít díru, ve které nejsou definovány. Nebo v daném bodě jsou definovány, ale jde o odstranitelnou nespojitost. Toto vše jsou příklady nespojitých funkcí. Připomeňme si trochu matematičtejší popsání spojitosti funkcí. Funkce f je spojitá v nějakém bodě x rovno 'a' právě tehdy,… Nakreslím sem oboustrannou šipku. …když limita f pro x jdoucí k 'a' je rovna funkci f v bodě 'a'. Opět, aby funkce byla v daném bodě spojitá, musí být v daném bodě definovaná. První věc, co mě napadne, je: aby byla funkce spojité všude, tak musí být i definovaná všude. Avšak g není definovaná všude, není definovaná pro záporná čísla. Proto nám v tomto případě vypadává. Podívejme se tedy na f(x) rovno e na x-tou. Je definovaná pro všechna reálná čísla. Většina funkcí, které jste se naučili, nemá ošklivé skoky nebo díry. Některé ano. Například 1 lomeno x. Avšak e na x-tou toho není příkladem. Můžeme si to nakreslit. E na x-tou vypadá nějak takto. Je definovaná všude a nemá žádné skoky nebo díry. A proto je f(x) spojitá pro všechna reálná čísla a pouze f. Neudělal jsem příliš rigorózní důkaz. Pokud chcete, tak jej můžete udělat. Avšak v tomto cvičení bylo důležitější získat intuici. Řekli jsme si, že e na x-tou je definované všude. Nemá žádné skoky nebo díry. Proto je vhodné ji považovat za spojitou. Ale můžete si formální důkaz udělat sami.