Hlavní obsah
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 1
Lekce 12: Spojitost funkce na intervaluFunkce spojité na celém oboru reálných čísel
Rozhodneme, která z funkcí eˣ a √x je spojitá na celém oboru reálných čísel. Obecně platí, že běžné funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Které z následujících funkcí jsou
spojité pro všechna reálná čísla? Připomeňme si, co to jsou
spojité funkce a jak vypadají. Spojité funkce… Tohle je y-ová osa
a na x-ová osu. Funkci nazveme spojitou
na nějakém intervalu, pokud nemá na daném intervalu
žádné skoky nebo díry. Pokud je tedy spojená, bude určitě definovaná na celém
intervalu a nebude mít žádné díry. Například, spojitá funkce
může vypadat takto. Tato funkce je spojitá
na tomto intervalu, který vidíme. Nyní uveďme příklady
nespojitých funkcí na intervalu. Určitě budou muset
mít nějaké díry. Můžou mít různé
asymptotické nespojitosti. Třeba něco takového. Tohle vytvoří nespojitost. Nebo mohou mít nespojitost
prvního druhu, může to vypadat takto. Můžou mít díru, ve
které nejsou definovány. Nebo v daném bodě jsou definovány,
ale jde o odstranitelnou nespojitost. Toto vše jsou příklady
nespojitých funkcí. Připomeňme si trochu matematičtejší
popsání spojitosti funkcí. Funkce f je spojitá v nějakém
bodě x rovno 'a' právě tehdy,… Nakreslím sem
oboustrannou šipku. …když limita f pro x jdoucí k 'a'
je rovna funkci f v bodě 'a'. Opět, aby funkce byla
v daném bodě spojitá, musí být v daném
bodě definovaná. První věc, co mě
napadne, je: aby byla funkce
spojité všude, tak musí být i
definovaná všude. Avšak g není definovaná všude,
není definovaná pro záporná čísla. Proto nám v tomto
případě vypadává. Podívejme se tedy na
f(x) rovno e na x-tou. Je definovaná pro
všechna reálná čísla. Většina funkcí, které jste se naučili,
nemá ošklivé skoky nebo díry. Některé ano. Například 1 lomeno x. Avšak e na x-tou toho není
příkladem. Můžeme si to nakreslit. E na x-tou vypadá
nějak takto. Je definovaná všude a
nemá žádné skoky nebo díry. A proto je f(x) spojitá pro
všechna reálná čísla a pouze f. Neudělal jsem příliš rigorózní důkaz.
Pokud chcete, tak jej můžete udělat. Avšak v tomto cvičení bylo
důležitější získat intuici. Řekli jsme si, že e na x-tou
je definované všude. Nemá žádné
skoky nebo díry. Proto je vhodné ji
považovat za spojitou. Ale můžete si formální
důkaz udělat sami.