If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:9:00

Transkript

V tomto videu se podíváme na spojitost na intervalu. Ale abychom to mohli udělat, musíme si připomenout spojitost v bodě. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x rovno ‚c‘ právě tehdy, když… Použiji zde tuhle oboustrannou šipku. …limita f(x) pro x blížící se k ‚c‘ je rovna f(c). A když jsme si toto poprvé ukázali, tak jsme si řekli, že to je trochu technické, ale vlastně docela intuitivní. Zamysleme se nad tím, co se zde děje. Limita f(x) pro x blížící se k ‚c‘… Řekněme, že pro x blížící se k ‚c‘ jde f(x) k nějaké hodnotě. Když se blížíme zleva, tak jdeme k této hodnotě. Když se blížíme zprava, tak jdeme k této hodnotě. Aby funkce byla spojitá, tak ji musím dokázat nakreslit bez zvednutí tužky. Hodnota funkce v tomto bodě by měla být stejná jako limita. To je pouze formální popis toho, že nemusím zvednout tužku, jakési spojenosti, že nemáme žádné skoky nebo nespojitosti. Když toto víme, můžeme přejít ke spojitosti na intervalu. Tohle rychle smažu, abych měl kde dál pracovat. Nejdřív budu mluvit o otevřeném intervalu. Pak budu mluvit o uzavřeném intervalu, jelikož uzavřený interval je záludnější. Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a,b)... Tedy kulaté závorky místo hranatých. To značí, že interval neobsahuje hraniční body. Toto jsou všechny body x mezi bodem x rovno ‚a‘ a bodem x rovno ‚b‘, ale ne bod x rovno ‚a‘ ani x rovno ‚b‘. ...Tedy funkce f je spojitá na tomto otevřeném intervalu právě tehdy, když je f spojitá v každém bodě intervalu. Udělejme si na to pár příkladů. Mějme například otevřený interval od -7 do -5. Je f spojitá na tomto intervalu? Jdeme od -7 do -5 a můžeme to udělat několika způsoby. Je tu méně matematicky přesná možnost, kde si můžeme říci: „Začínáme tady a můžeme jít až do -5 bez zvednutí tužky.“ Kdybychom to chtěli udělat formálně a měli předpis funkce, tak bychom udělali důkaz toho, že pro každý bod v tomto intervalu je limita rovna funkční hodnotě. To se dělá hůře, když máme jenom graf. Když máme pouze graf, tak to lze udělat odhadem. Řekneme si: „Dobře, můžu jít z toho bodu do tohoto bodu bez zvednutí tužky, takže to vypadá celkem dobře.“ Teď zkusme jiný interval. Řekněme… Sem dám značku, že to je spojité. Teď se koukněme na interval od -2 do 1, otevřený interval. To je zajímavé, protože funkce je v bodě -2 tady nahoře. A tedy pokud skutečně chceme začít v -2, tak musíme začít tady a pak skočit hned dolů jakmile se dostaneme kousek za -2, načež už můžeme pokračovat. Ale toto je otevřený interval, takže nás vlastně nezajímá, co se děje přímo v bodě -2. Nás zajímá, co se děje v bodech větších než -2. Takže vlastně začneme tady a pak jdeme do 1. Podle našeho intuitivního kreslení tužkou je funkce na tomto intervalu opět spojitá. Jaký je tedy příklad intervalu, na němž funkce není spojitá? Zamysleme se nad intervalem od… Tohle je vlastně docela zřejmé, třeba otevřený interval od 3 do 5. Funkce je zde, když x je rovno 3. Ale když se chceme dostat do 5, tak to vypadá, že se asymptoticky… Vypadá to, že se asymptoticky blížíme k nekonečnu a půjdeme hodně dlouho. Poté bychom museli vzít tužku a skočit sem, a pak bychom došli zase sem dolů. A proto na tomto intervalu funkce není spojitá. Nyní se zkusme zamyslet nad trochu těžším intervalem. Trochu těžší případ je, když máme uzavřený interval. f je spojitá na uzavřeném intervalu od ‚a‘ do ‚b‘… Ten tedy obsahuje nejen body mezi ‚a‘ a ‚b‘, ale i tyto koncové body. …právě tehdy, když je f spojitá na otevřeném intervalu a jednostranné limity… Udělám to takto. … a limita f(x) pro x blížící se k ‚a‘ zprava je rovna f(a) a limita f(x) pro x blížící se k ‚b‘ zleva je rovna f(b). Co se zde tedy děje? Říká nám to, že jednostranná limita, když jsme uvnitř intervalu, musí mít stejnou hodnotu jako funkce. Třeba pro uzavřený interval od -7 do -5. Ten je docela rozumný na základě pravidla o zvedání tužky. Nemusíme zvedat tužku. A v koncových bodech, jako -7, je funkce prostě spojitá, jak to známe, ale pokud by tady nebyla definovaná, tak stále může být spojitá, protože bychom udělali pouze limitu zprava a viděli bychom, že limita zprava je rovna funkční hodnotě. A pak v tomto druhém koncovém bodě si řekneme: „Dobře, limita zleva je rovna funkční hodnotě, i kdyby zde už nebyla definovaná, i kdyby oboustranná limita nebyla definovaná.“ Můžeme si takový případ ukázat. Zkusme si interval… Lze mít otevřený z jedné a uzavřený z druhé strany, ale zkusme uzavřený interval od -3 do -2. Všimněte si, že jsem nemusel zvednout tužku. Nakreslím i bod -3 a dostanu se až do -2. Kdybychom znali přesný předpis této funkce, tak bychom dokázali, že limita v jakémkoli bodě mezi -3 a -2 je rovna funkční hodnotě. V bodě -3 je funkce zjevně spojitá. Oboustranná limita je rovna funkční hodnotě. Ale v bodě -2 oboustranná limita neexistuje. Když se blížíme zleva, tak se zdá, že jdeme k 0. f(x) je rovno 0. Když se blížíme zprava, tak to vypadá, že f(x) jde k -3. Takže přestože oboustranná limita neexistuje, tak vše ještě může být v pořádku, protože limita zleva existuje. A limita zleva se rovná funkční hodnotě. Na tomto intervalu je tudíž funkce spojitá. Ale kdybychom řešili tento interval… Pokud bychom měli uzavřený interval od -2 do 1… Zastavte si video a zamyslete se, na základě toho, co jsem právě udělali, zda je funkce spojitá na tomto intervalu. Jdeme od -2 do 1 a -2 je levý koncový bod. Je tedy tohle pravda? Je limita zprava v bodě -2 rovna f(-2)? Když se blížíme zprava, tak se zdá, že se blížíme k -3, a f(-2) je 0. Tato limita ne… Tyhle dvě věci, limita, když se blížíme zprava, a funkční hodnota, se nerovnají. A tedy nemáme… Mohli bychom říct, že jednostrannou spojitost v -2. A to také dává smysl. Když začnu v -2… Udělám to barevně. ...Když začnu v -2 a chci projít zbytek intervalu do 1, tak musím zvednout tužku. Zvednout tužku, posunout ji sem a pak pokračovat. Na tomto intervalu tedy funkce není spojitá.