Hlavní obsah
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 1
Lekce 12: Spojitost funkce na intervaluSpojitost funkce na intervalu
Funkce ƒ je na otevřeném intervalu (a,b) spojitá právě tehdy, když je spojitá v každém bodě intervalu (a,b). Funkce ƒ je spojitá na uzavřeném intervalu [a,b] tehdy, když je spojitá na (a,b), limita ƒ(x) v bodě "a" zprava se rovná ƒ(a) a limita ƒ(x) v bodě "b" zleva se rovná ƒ(b).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu se podíváme
na spojitost na intervalu. Ale abychom to mohli udělat,
musíme si připomenout spojitost v bodě. Řekneme, že funkce f je spojitá v
bodě x rovno ‚c‘ právě tehdy, když… Použiji zde tuhle oboustrannou šipku. …limita f(x) pro x
blížící se k ‚c‘ je rovna f(c). A když jsme si toto poprvé ukázali, tak jsme si řekli,
že to je trochu technické, ale vlastně docela intuitivní. Zamysleme se nad tím, co se zde děje. Limita f(x) pro x blížící se k ‚c‘… Řekněme, že pro x blížící
se k ‚c‘ jde f(x) k nějaké hodnotě. Když se blížíme zleva,
tak jdeme k této hodnotě. Když se blížíme zprava,
tak jdeme k této hodnotě. Aby funkce byla spojitá, tak ji musím dokázat nakreslit
bez zvednutí tužky. Hodnota funkce v tomto bodě
by měla být stejná jako limita. To je pouze formální popis toho, že
nemusím zvednout tužku, jakési spojenosti, že nemáme žádné skoky nebo nespojitosti. Když toto víme, můžeme
přejít ke spojitosti na intervalu. Tohle rychle smažu,
abych měl kde dál pracovat. Nejdřív budu mluvit o otevřeném intervalu. Pak budu mluvit o uzavřeném intervalu,
jelikož uzavřený interval je záludnější. Řekneme, že funkce f je spojitá na
otevřeném intervalu (a,b)... Tedy kulaté závorky místo hranatých. To značí, že interval
neobsahuje hraniční body. Toto jsou všechny body x mezi bodem
x rovno ‚a‘ a bodem x rovno ‚b‘, ale ne bod x rovno ‚a‘ ani x rovno ‚b‘. ...Tedy funkce f je spojitá na tomto
otevřeném intervalu právě tehdy, když je f spojitá v každém bodě intervalu. Udělejme si na to pár příkladů. Mějme například otevřený
interval od -7 do -5. Je f spojitá na tomto intervalu? Jdeme od -7 do -5 a můžeme
to udělat několika způsoby. Je tu méně matematicky přesná
možnost, kde si můžeme říci: „Začínáme tady a můžeme
jít až do -5 bez zvednutí tužky.“ Kdybychom to chtěli udělat
formálně a měli předpis funkce, tak bychom udělali důkaz toho, že pro každý bod v tomto intervalu je
limita rovna funkční hodnotě. To se dělá hůře,
když máme jenom graf. Když máme pouze graf,
tak to lze udělat odhadem. Řekneme si: „Dobře, můžu jít z toho bodu
do tohoto bodu bez zvednutí tužky, takže to vypadá celkem dobře.“ Teď zkusme jiný interval. Řekněme… Sem dám
značku, že to je spojité. Teď se koukněme na interval
od -2 do 1, otevřený interval. To je zajímavé, protože funkce je
v bodě -2 tady nahoře. A tedy pokud skutečně
chceme začít v -2, tak musíme začít tady a pak skočit hned
dolů jakmile se dostaneme kousek za -2, načež už můžeme pokračovat. Ale toto je otevřený interval,
takže nás vlastně nezajímá, co se děje přímo v bodě -2. Nás zajímá, co se děje
v bodech větších než -2. Takže vlastně začneme
tady a pak jdeme do 1. Podle našeho intuitivního kreslení tužkou
je funkce na tomto intervalu opět spojitá. Jaký je tedy příklad intervalu,
na němž funkce není spojitá? Zamysleme se nad intervalem od… Tohle je vlastně docela zřejmé,
třeba otevřený interval od 3 do 5. Funkce je zde, když x je rovno 3. Ale když se chceme dostat do 5, tak to vypadá, že se asymptoticky… Vypadá to, že se asymptoticky blížíme
k nekonečnu a půjdeme hodně dlouho. Poté bychom museli
vzít tužku a skočit sem, a pak bychom došli zase sem dolů. A proto na tomto intervalu
funkce není spojitá. Nyní se zkusme zamyslet nad
trochu těžším intervalem. Trochu těžší případ je, když
máme uzavřený interval. f je spojitá na uzavřeném
intervalu od ‚a‘ do ‚b‘… Ten tedy obsahuje nejen body
mezi ‚a‘ a ‚b‘, ale i tyto koncové body. …právě tehdy, když je f spojitá na
otevřeném intervalu a jednostranné limity… Udělám to takto. … a limita f(x) pro x blížící
se k ‚a‘ zprava je rovna f(a) a limita f(x) pro x blížící
se k ‚b‘ zleva je rovna f(b). Co se zde tedy děje? Říká nám to, že jednostranná
limita, když jsme uvnitř intervalu, musí mít stejnou hodnotu jako funkce. Třeba pro uzavřený interval od -7 do -5. Ten je docela rozumný na
základě pravidla o zvedání tužky. Nemusíme zvedat tužku. A v koncových bodech, jako -7, je
funkce prostě spojitá, jak to známe, ale pokud by tady nebyla definovaná, tak stále může být spojitá, protože bychom udělali
pouze limitu zprava a viděli bychom, že limita
zprava je rovna funkční hodnotě. A pak v tomto druhém
koncovém bodě si řekneme: „Dobře, limita zleva je rovna funkční
hodnotě, i kdyby zde už nebyla definovaná, i kdyby oboustranná
limita nebyla definovaná.“ Můžeme si takový
případ ukázat. Zkusme si interval… Lze mít otevřený z jedné
a uzavřený z druhé strany, ale zkusme uzavřený
interval od -3 do -2. Všimněte si, že jsem
nemusel zvednout tužku. Nakreslím i bod -3 a dostanu se až do -2. Kdybychom znali přesný předpis
této funkce, tak bychom dokázali, že limita v jakémkoli bodě
mezi -3 a -2 je rovna funkční hodnotě. V bodě -3 je funkce zjevně spojitá. Oboustranná limita je
rovna funkční hodnotě. Ale v bodě -2 oboustranná
limita neexistuje. Když se blížíme zleva,
tak se zdá, že jdeme k 0. f(x) je rovno 0. Když se blížíme zprava, tak
to vypadá, že f(x) jde k -3. Takže přestože oboustranná
limita neexistuje, tak vše ještě může být v pořádku, protože limita zleva existuje. A limita zleva se rovná funkční hodnotě. Na tomto intervalu
je tudíž funkce spojitá. Ale kdybychom řešili tento interval… Pokud bychom měli uzavřený
interval od -2 do 1… Zastavte si video a zamyslete se, na
základě toho, co jsem právě udělali, zda je funkce spojitá na tomto intervalu. Jdeme od -2 do 1 a
-2 je levý koncový bod. Je tedy tohle pravda? Je limita zprava v bodě -2 rovna f(-2)? Když se blížíme zprava, tak se zdá,
že se blížíme k -3, a f(-2) je 0. Tato limita ne… Tyhle dvě věci, limita, když se blížíme
zprava, a funkční hodnota, se nerovnají. A tedy nemáme… Mohli bychom říct,
že jednostrannou spojitost v -2. A to také dává smysl. Když začnu v -2… Udělám to barevně. ...Když začnu v -2 a chci projít
zbytek intervalu do 1, tak musím zvednout tužku. Zvednout tužku, posunout ji
sem a pak pokračovat. Na tomto intervalu
tedy funkce není spojitá.