Hlavní obsah
Nevlastní limity: racionální funkce
V tomto videu se podíváme na chování funkce f(x)=-1/(x-1)² v blízkosti bodu x=1, kterým prochází asymptota této funkce.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Funkce f(x) se rovná -1 lomeno
(x minus 1) na druhou. Vyberte správný popis jednostranných
limit funkce f pro x blížící se k 1. Vidíme, že máme
několik možností, když se blížíme zprava
a když se blížíme zleva, a snažíme se zjistit, zda se blížíme
ke kladnému nebo zápornému nekonečnu. Můžeme na to jít
několika způsoby. Asi nejvíc se nabízí posoudit
každý případ samostatně. Takže nás bude zajímat limita f(x)
pro x blížící se k 1 zprava a limita f(x) pro
x blížící se k 1 zleva. Toto je z pravé strany. Toto je z levé strany. Takže si pouze uděláme tabulku s hodnotami
blížícími se k 1 z různých stran. Tady bude x a f(x). Totéž udělám i tady. Napíšeme si x a f(x). Když se k 1 blížíme z pravé strany,
blížíme se k 1 shora, tak můžeme
zkusit 1,1 a 1,01. f(x) v bodě 1,1 je -1 lomeno
(1,1 minus 1) na druhou. Jmenovatel tak
bude 0,1 na druhou, což se rovná 0,01, a tak bude celý
výraz roven -100. Toto bude -100. Pokud je x rovno 1,01, pak to bude -1
lomeno (1,01 minus 1) na druhou. Tento jmenovatel bude… Bude to 0,01 na druhou,
což je 0,0001 neboli 1/10 000, a -1 lomeno
1/10 000 je -10 000. Zapišme si to, -10 000. Takže se zdá,
že když se blížíme… Všimněme si, že
se blížíme k 1 zprava, blížíme se shora a jdeme
k zápornému nekonečnu. To vypadá jako
záporné nekonečno. Teď můžeme udělat
to stejné zleva. Můžeme zkusit 0,9 a 0,99. 0,9 mi vlastně taky dá -100, protože 0,9 minus 1 je -0,1, ale když to pak umocníme, tak
minus zmizí a dostaneme 0,01. Když tím poté vydělíme číslo 1,
tak získáme 100. Ale máme zde ještě minus,
takže to bude taky -100. Pokud nestíháte
sledovat výpočty, tak to udělám ještě
jednou a pořádně. Toto bude -1 lomeno… Teď je x rovno 0,99,
takže se k 1 blížím ještě víc. Ale blížím se zdola,
blížím se zleva. Bude to (0,99 minus 1)
na druhou. 0,99 minus 1 je -1/100, proto to bude
-0,01 na druhou. Když to umocníme, tak
minus zmizí a zbyde 1/10 000. Tudíž to bude 0,0001, a proto zde celkem
dostaneme 10 000. Pardon, dostaneme -10 000. Ať už se blížíme z jakékoliv strany,
tak jdeme k zápornému nekonečnu. To říká tato možnost. Máme i další možnosti,
jak toto vyřešit. Pokud se podíváme na
strukturu tohoto výrazu, tak čitatel je konstanta, a tak
bude určitě vždy kladný. Teď tu budeme na
chvilku ignorovat to minus. Toto minus je venku. Tento čitatel bude
vždy kladný. Dole máme... když je x rovno 1, tak bude tohle 0 a celý
výraz se stane nedefinovaným. Ale když se k 1 blížíme, tak x minus 1 může být
kladné i záporné, jak vidíme zde, ale jak to umocníme na druhou, tak už to bude vždy kladné. Jmenovatel tak bude kladný
pro všechna x kromě 1. Kladné číslo děleno kladným
číslem bude vždy kladné, ale před tím je
ještě minus, takže celý výraz bude záporný
pro všechna x kromě 1, přičemž funkce ve skutečnosti ani není
definovaná pro x rovno 1. Z toho můžeme usoudit, že můžeme jít jedině
do záporného nekonečna, tato funkce nikdy nenabývá
kladných hodnot.