Důkaz speciálního případu L'Hospitalova pravidla

V tomto videu vám chci ukázat speciální případ l'Hospitalova pravidla. Jde o omezenější případ obecné verze, kterou jsme měli, ale stále jde o silný a užitečný nástroj. O tomto speciálním případu mluvím proto, že jeho důkaz je poměrně přímočarý a dává dobrou představu o tom, proč l'Hospitalovo pravidlo vlastně funguje. V našem speciálním případě l'Hospitalova pravidla bude f(a) rovno 0, derivace f v bodě ‚a‘ existuje, g(a) se rovná 0 a derivace g v bodě ‚a‘ existuje. Pokud jsou tyto podmínky splněny, pak se limita pro x blížící se k ‚a‘ z f(x) lomeno g(x) rovná: derivace f v bodě ‚a‘ lomeno derivace g v bodě ‚a‘. Je to tedy podobné obecné verzi, ale s nějakými omezeními. Předpokládáme, že derivace f v bodě ‚a‘ existuje, nemluvíme o limitě. Předpokládáme, že derivace f a g v bodě ‚a‘ existují. Všimněte si ale, že když sem za x dosadíme ‚a‘, dostaneme 0 lomeno 0, ale když derivace existují, tak je stačí vyčíslit v bodě ‚a‘ a máme limitu. Toto je tedy poměrně blízko obecné verzi l'Hospitalova pravidla. Nyní si tvrzení dokažme. Tvrzení dokážeme tak, že vyjdeme z pravé strany a skrze definici derivace ukážeme, že platí tvrzení na levé straně. Tak pojďme na to. Napíšu to sem. Derivace f v bodě ‚a‘ se podle definice derivace rovná čemu? Je to limita pro x blížící se k ‚a‘ z f(x) minus f(a), to celé lomeno x minus a. Jde tedy vlastně o směrnici mezi dvěma body. Když máme funkci f(x) a zde je bod [a; f(a)], dále tu budeme mít bod [x; f(x)]... Tento výraz udává směrnici mezi těmito dvěma body. Změna y se rovná f(x) minus f(a), změna x se rovná x minus a, takže tento výraz je směrnice téhle přímky. A my děláme... Udělám to jinou barvou. Jde o směrnici přímky spojující tyto dva body. Udělám to bílou. Směrnice přímky procházející těmito dvěma body. A my nyní hledáme limitu pro x blížící se čím dál tím víc k ‚a‘. Tohle je tedy jeden ze způsobů, jak zapsat definici derivace. Udělejme totéž pro derivaci g. Derivace f v bodě ‚a‘ lomeno derivace g v bodě ‚a‘ je rovna: tomuto oranžovému výrazu, tedy derivaci f v bodě ‚a‘, lomeno derivace g v bodě ‚a‘, kterou můžeme napsat jako limitu pro x blížící se k ‚a‘ z výrazu: g(x) minus g(a), to celé lomeno x minus a. V čitateli máme limitu pro x blížící se k ‚a‘, totéž máme i ve jmenovateli, takže tohle můžeme přepsat jako limitu pro x blížící se k ‚a‘ z oranžového výrazu, tedy f(x) minus f(a), to celé lomeno x minus a, a tohle celé lomeno zeleným výrazem, což je g(x) minus g(a), to celé lomeno x minus a. Tohle můžeme zjednodušit tak, že čitatele i jmenovatele vynásobíme (x minus a), čímž se těchto (x minus a) zbavíme. Vynásobme tedy zlomkem x minus a, to celé lomeno x minus a. Tady násobíme (x minus a) a zde dělíme (x minus a), takže to se pokrátí, tyhle dva se také pokrátí. Zbylo nám, že tento zlomek se rovná limitě pro x blížící se k ‚a‘ z výrazu... V čitateli máme f(x) minus f(a) a ve jmenovateli máme g(x) minus g(a). Teď už asi víte, kam tímhle mířím. Čemu se rovná f(a)? V předpokladech máme, že f(a) se rovná 0, proto vůbec mluvíme o l'Hospitalově pravidlu, protože f(a) se rovná 0 a g(a) se také rovná 0. f(a) se rovná 0 a i g(a) se rovná 0, čímž se nám to zjednoduší na limitu pro x blížící se k ‚a‘ z výrazu: derivace f v bodě x... Pardon, má zde být f(x). ...f(x) lomeno g(x). Právě jsme tedy dokázali, že když se f(a) rovná 0, g(a) se rovná 0 a tyto dvě derivace existují, tak se podíl derivací v bodě ‚a‘ rovná: limita pro x blížící se k ‚a‘ z f(x) lomeno g(x), neboli že limita pro x blížící se k ‚a‘ z f(x) lomeno g(x) se rovná derivaci f v bodě ‚a‘ lomené derivací g v bodě ‚a‘. Jde tedy o poměrně přímočarý důkaz speciálního případu, ne však obecné verze l'Hospitalova pravidla.