Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 4
Lekce 7: L'Hospitalovo pravidlo- Úvod do L'Hospitalova pravidla
- L'Hospitalovo pravidlo: limita pro x blížící se k 0
- L'Hospitalovo pravidlo: 0/0
- L'Hospitalovo pravidlo: limita pro x jdoucí do nekonečna
- L'Hospitalovo pravidlo: ∞/∞
- L'Hospitalovo pravidlo: těžší příklad
- L'Hospitalovo pravidlo: příklad s parametrem
- Důkaz speciálního případu L'Hospitalova pravidla
Úvod do L'Hospitalova pravidla
Někdy se při počítání limit dostaneme k výsledku 0/0 nebo ∞/∞, V takovém případě je L'Hospitalovo pravidlo velmi užitečný nástroj. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
První věc, co se učíme při seznámení
s matematickou analýzou, je použití limit. Používáme limity k výpočtu
derivací funkcí. Ve skutečnosti definice
derivace používá pojem limita. Derivací získáme sklon tečny v bodě, který vznikl limitním
zmenšováním vzdálenosti bodů. To jste již viděli mnohokrát. V tomto videu si to
ukážeme v opačném směru. Využijeme derivace k výpočtu limit. Zejména k výpočtu
limit v neurčitém tvaru. Neurčitým tvarem myslím, že
když vezmu limitu tak, jak je a vyjde nám 0 děleno 0, nebo
plus nekonečno děleno plus nekonečnem, nebo minus nekonečno
děleno plus nekonečno, nebo minus nekonečno
děleno minus nekonečno, nebo plus nekonečno
děleno minus nekonečnem. Všechny jsou neurčité a nedefinované. K výpočtu takovýchto limit
použijeme l'Hospitalovo pravidlo. V tomto videu vám pouze ukáži,
co nám l'Hospitalovo pravidlo říká a jak jej můžeme využít, protože
je velmi přímočaré a užitečné. Až budete na nějaké
matematické soutěži a zeptají se vás na řešení složité
limity, do které když dosadíte čísla, vyjde vám nějaký takovýto neurčitý výraz,
pak vás testují na l'Hospitalovo pravidlo. V budoucím videu si ho i dokážeme,
ale to je trochu víc komplikované. Aplikace je ve skutečnosti
velmi přímočará. Co nám tedy l'Hospitalovo
pravidlo říká? Nejdřív vám to ukáži obecně,
ale až vám ukáži příklad, bude vám to hned jasné. Nechť se limita ,x' blížící
se k ,c' z f(x) rovná 0 a limita ,x' blížící
se k ,c' z g(x) se rovná také 0 a limita ,x' se blíží k ,c' z derivace
f(x) děleno derivace g(x) existuje a je rovna nějakému číslu L. Všechny tyto podmínky platí. Máme zde nedefinovaná tvar 0 děleno 0,
takže zde máme první případ. Pak můžeme říct, že limita ,x' blížící se k ,c' z f(x)
děleno g(x) se bude také rovnat L. Tohle vám může
připadat trochu bizarní. Nyní vám napíši druhý případ
a pak si ukážeme příklad. Tedy spíš několik příkladů
a ty vám vše ujasní. Toto je první případ
a příklad, který si ukážeme, ve skutečnosti bude spojen
s tímhle případem. Další případem je, když je limita ,x' blížící se k ,c' z f(x)
rovna plus nekonečno nebo minus nekonečno a limita x blížící se c z g(x) je rovna
plus nekonečno nebo minus nekonečno. A zároveň můžu říct,
že podíl derivací existuje a limita ,x' blížící se k ,c' z derivace
f(x) děleno derivace g(x) se rovná L. Můžeme říct stejné prohlášení. Nechte mě to zkopírovat. Editovat, kopírovat a vložit. Ujistěte se v těchto případech,
že víte, o čem je řeč. Pokud v tomto případě zkusíte vypočítat
limitu, po dosazení ,c' do f dostaneme 0. Nebo-li limita ,x' blížící se k ,c' z f(x)
děleno limita ,x' blížící se k ,c' z g(x)… Vyjde vám 0 děleno 0. My ale nevíme,
kolik je ta limita. Ale tohle nám to říká. Pokud limity existují, mohu vzít derivace
jejich funkcí a vypočítat jejich limitu. Pokud dostanu číslo,
pak mají stejnou limitu. Toto je situace, kde, pokud vezmeme limitu,
dostaneme nekonečno děleno nekonečnem, nebo minus nekonečno
děleno plus nekonečnem, nebo minus nekonečno
děleno minus nekonečnem. Máme druhý nedefinovaný výraz. Abych vám vše objasnil,
dovolte mi udělat příklad, protože si myslím,
že mnoho věcí objasní. Řekněme, že se
snažíme najít limitu. Použiji novou barvu. Dovolte mi to napsat
purpurovou barvou. Řekněme, že chceme najít limitu
,x' blížící se k 0 ze sin(x) děleno x. Vidíme, že pokud dosadíme 0 nebo
limitu pošleme do 0 v obou funkcích, dostaneme něco
ve smyslu 0 děleno 0. Sinus 0 je 0. Nebo limita ,x' blížící
se 0 ze sin(x) je 0. Samozřejmě, když se
,x' blíží 0 z ,x', pak to bude také 0. To je náš nedefinovaný výraz. Pokud nad tím chcete
přemýšlet, sin(x) je naše f(x) a naše g(x) je zde x. g(x) se rovná x a f(x) se rovná sin(x). Všimněte si, že to splňuje
první dvě podmínky. Limita ,x' blížící se k 0,
v tomto případě ,c' je 0, ze sin(x) je 0, sin(0) je 0, a limita ,x' blížící se k 0
z x je také rovna 0. Dostali jsme nedefinovaný výraz. Podívejme se, zda-li
tyto limity vůbec existují. Máme tedy podíl derivací funkcí
f(x) a g(x) a limita podílu jde do 0. Tedy v tomto případě je 0 naše ,c'. Podívejme se, zda limity existují. Budu psát modře. Napíšeme derivace
našich dvou funkcí. Pokud f(x) je sin(x),
jaká je derivace f(x)? No přeci cos(x). Učili jste se to již mnohokrát. Pokud g(x) je x,
čemu je rovna derivace g(x)? To je jednoduché. Derivace x je 1. Limita ,x' blížící se k 0 z
derivace f(x) děleno derivace g(x). To bude limita ,x' blížící se
k 0 z cos(x) děleno 1. Napsal jsem tu
jedničku trochu zvláštně. Nyní je to velmi přímočaré. Kolik to může být? Pokud x je 0, pak
cos(x) bude roven 1. Samozřejmě limita ,x' blížící
se k 0 z 1 bude též rovna 1. V této situaci vidíme, že limita ,x'
blížící se k ,c', v tomto případě 0, tedy ,x' blížící se k 0 z derivace f(x)
děleno derivace g(x) je rovna 1. Limita existuje a je rovna 1,
splnili jsme tedy všechny podmínky. Toto je příklad, který jsme počítali. Limita ,x' blížící se k 0
ze sin(x) je rovna 0. Limita ,x' blížící se k 0
z x je rovna 0. Limita podílu derivace sin(x)
a derivace x je podíl cos(x) a 1. Zjistili jsme, že je rovna 1. Všechny podmínky nahoře jsou splněny,
proto víme, že toto musí být případ, kde limita ,x' blížící se k 0
ze sin(x) děleno x je rovna 1. Musí mít stejnou limitu
jako jsme vypočítali zde, derivace f(x) a g(x). V následujících videích
jsou další příklady, podívejte se na ně
a bude vše ještě jasnější.