L'Hospitalovo pravidlo: limita pro x blížící se k 0

Řekněme, že potřebujeme vypočítat limitu, kdy ‚x‘ jde k 0 ze 2 krát sin(x) minus sin(2 krát x) celé děleno x minus sin(x). První věc, kterou vždy zkouším, když vidím nějakou limitu, je zjistit, co vyjde po dosazení 0 za ‚x‘ do dané funkce. Možná se nestane nic bláznivého, ale pojďme to zkusit. Pokud za ‚x‘ dosadíme 0, co se stane? Dostaneme 2 sinus z 0, což je 0, minus sin(2 krát 0) což je sin(0), a to je také rovno 0. Náš čitatel bude roven 0. Sinus 0 je 0. Tady máme další sinus 0, což je další 0, všechny jsou nuly. Ve jmenovateli máme 0 minus sin(0), což je také 0. Máme tu proto neurčitý výraz, nedefinované 0 děleno 0, o kterém jsem mluvili dříve. Možná můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo. Abychom mohli použít l'Hospitalovo pravidlo, musí limita ‚x‘ jdoucí k 0 derivace funkce děleno derivací této funkce existovat. Použijme l'Hospitalovo pravidlo, vezměme derivace obou funkcí, uvidíme, zda umíme vypočítat limitu. Pokud ano, našli jsme zároveň původní limitu. Za předpokladu, že limita existuje, bude rovna limitě ‚x‘ jdoucí k 0 derivaci čitatele lomeno derivace jmenovatele. Čemu se rovná derivace čitatele? Použiji novou barvu, třeba zelenou. Derivace 2 krát sin(x) je 2 krát cos(x) a derivace sin(2 krát x) je 2 krát cos(2 krát x) takže minus 2 krát cos(2 krát x). Použili jsme derivaci složené funkce, derivace vnitřní funkce je rovna 2. To je ta 2 před kosinem. Derivace vnější funkce je cos(2 krát x) a máme tu ještě minus. Vypočítali jsme derivaci čitatele. Čemu je rovna derivace našeho jmenovatele? Derivace x je 1 a derivace sin(x) je cos(x), takže 1 minus cos(x). Zkusme vypočítat tuto limitu. Co dostaneme? Pokud dosadíme 0 sem, dostaneme 2 krát cos(0), což je 2. 2 krát cos(0) je 2 krát 1, což je 2, 2 minus 2 krát cos(2 krát 0). Zapišme to takto. Pokud přímo vypočítáme limitu čitatele a jmenovatele, co dostaneme? Dostaneme 2 krát cos(0), což je 2, minus 2 krát cos(2 krát 0), 2 krát 0 je pořád 0, a minus 2 krát cos(0) je 2. To vše děleno 1 minus cos(0), což je 1. Takže opět zde máme neurčitý výraz 0 děleno 0. Znamená to, že limita neexistuje? Ne, pořád může existovat, jen potřebujeme l'Hospitalovo pravidlo ještě jednou. Vypočítáme derivaci derivace našich funkcí a vydělíme je. Uděláme z toho limitu a možná nám tentokrát l'Hospitalovo pravidlo pomůže. Podívejme se, zda-li se někam dostaneme. Mělo by to být rovno limitě... Pokud zde l'Hospitalovo pravidlo pomůže. Nejsme si 100% jistí. Může to být rovno limitě: ‚x' blížící se k 0 z derivace již jednou námi zderivovaných funkcí. Čemu je rovna derivace 2 krát cos(x)? Derivace cos x je −sin(x). Takže minus 2 krát sin(x), derivace cos(2 krát x) je −2 krát sin(2 krát x). Minus se nám vyruší s minusem u 2 a 2 krát 2 je 4. Řešení je tedy 4 sin(2 krát x). Zkontrolujme, že jsme to vypočítali správně. Máme minus 2 nebo −2 na začátku. Derivace cos(2 krát x) je 2 krát −sin(x), a zároveň 2 krát 2 je 4. −sin(2 krát x) krát minus je plus sin(2 krát x). Jde jen o procvičení derivací. Čemu je rovna derivace jmenovatele? Derivace 1 je 0. Čemu se rovná derivace −cos(x)? Je to sin(x). Pokud z toho uděláme limitu, čemu se to bude rovnat? Když ‚x‘ ve jmenovateli jde k 0, tak dosadím a sin(x) je 0. Podívejme se na čitatel. −2 krát sin(0), což je 0, plus 4 krát sin(2 krát 0). To je pořád 0, takže čitatel je roven 0. Opět zde máme nedefinovaný výraz. Jsme u konce, vzdáme to? Řekneme, že l'Hospitalovo pravidlo nefunguje? Ne, protože toto může být zadání našeho dalšího příkladu. Pokud to uvidíme jako zadání příkladu, řekneme si, že lze možná užít l'Hospitalovo pravidlo, protože nám vychází nedefinovaný výraz. Čitatel i jmenovatel je roven 0 pro ‚x' blížící se k 0. Zkusme funkce zderivovat znovu. To se bude rovnat, pokud tedy limity existují, limitě ‚x‘ blížící se k 0… Zderivujeme čitatel. Derivace −2 krát sin(x) je −2 krát cos(x) plus derivace 4 krát sin(2 krát x), 2 krát 4 je 8, krát cos(2 krát x), protože derivace sin(2 krát x) je 2 krát cos(2 krát x). Ta 2 se vynásobí se 4 a dostaneme 8. Derivace jmenovatele je derivace sin(x), což se rovná cos(x). Zkusme dosadit. Vypadá to, že jsme udělali určitý pokrok, nebo možná přestaneme aplikovat l'Hospitalovo pravidlo. Limita ‚x‘ blížící se 0 z cos(x) je 1. Určitě nedostaneme nedefinovaný výraz 0 děleno 0 v tomto kroku. Podívejme se, co se stalo s čitatelem, −2 krát cos(0). To je −2, protože cos(0) je rovno 1. K tomu přičteme 8 krát cos(2 krát x). Jelikož x je 0, pak cos(2 krát x) je roven cos(0) což je 1. To se bude rovnat 8. −2 plus 8 je 6, to celé děleno 1. Celý výraz je roven 6. Tedy L'Hospitalovo fungovalo i na tento příklad. Pokud dostaneme takový příklad a zkusíme dosadit z limity, dostaneme, že limita čitatele jdoucí k 0 je rovna 0 a to samé vyjde u jmenovatele. Derivace čitatele děleno derivací jmenovatele existuje a je rovna 6. Limita musí být rovna 6. Pokud je tato limita rovna 6, pak ze stejných důvodů je tato limita rovna také 6. Ze stejného důvodu je i tato limita rovna 6. A máme hotovo..