L'Hospitalovo pravidlo: limita pro x jdoucí do nekonečna

Potřebujeme vypočítat limitu ‚x' blížící se k nekonečnu z výrazu: 4 krát x na druhou minus 5 krát x to celé děleno 1 minus 3 krát x na druhou. Nekonečno je takové zvláštní číslo. Nemůžete dosadit nekonečno a podívat se, co se stane. Pokud chcete vypočítat tuto limitu, můžete zkusit dosadit hodně velká čísla a zjistíte, že se to blíží k nekonečnu. Čitatel se blíží nekonečnu, protože ‚x' se blíží k nekonečnu. Pokud dosadíte opravdu velké číslo do jmenovatele, uvidíte, že to není tak úplně nekonečno. 3 krát x na druhou se blíží nekonečnu, ale my ho odečítáme. Pokud odečítáme nekonečno od nějakého konečného čísla, výsledek je záporné nekonečno. Pokud vypočítáme funkci v nekonečnu, čitatel bude nekonečno. Jmenovatel bude záporné nekonečno. Zapíši to takto. To je jeden z nedefinovaných výrazů, na který můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo. Pravděpodobně si říkáte, proč používám l'Hospitalovo pravidlo. Vždyť vím, jak to vypočítat bez použití tohoto pravidla. Což určitě víte, nebo byste již měli vědět. To si ukážeme dále. Chtěl jsem ukázat, že l'Hospitalovo pravidlo lze užít i na tento typ výrazů a ukázat vám příklad, který obsahuje nedefinovaný výraz: nekonečno děleno záporným nebo kladným nekonečnem. Použijme l'Hospitalovo pravidlo. Nechť limita nebo limita podílu derivací výrazů existují, pak je limita rovna limitě ‚x' blížící se k nekonečnu derivace čitatele. Zderivujme čitatele. Derivace 4 krát x na druhou je 8 krát x minus 5 děleno derivací jmenovatele. Derivace 1 je 0 a derivace −3 krát x na druhou je −6 krát x. Pokud vypočítáte limitu, čitatel se blíží kladnému nekonečnu a jmenovatel se blíží zápornému nekonečnu. −6 krát nekonečno je záporné nekonečno. Použijme l'Hospitalovo pravidlo ještě jednou. Pokud existuje limita derivace této funkce, pokud existuje racionální funkce derivace čitatele děleno derivací jmenovatele, pak bude rovna limitě ‚x' blížící se k nekonečnu. Změním barvu. Derivace (8 krát x minus 5) je 8. Derivace (−6 krát x) je −6. Což je konstanta. Nezáleží na tom, že se limitně někam blížíme, pořád to bude toto číslo. Což je kolik? Pokud zlomek pokrátíme… −4 děleno 3. Limita existuje. Toto byl nedefinovaný výraz. Limita derivace této funkce děleno derivací této funkce existuje a musí také být rovna −4 lomeno 3. Ze stejného důvodu musí být i tato limita −4 děleno 3. Někteří si říkáte, že jste již věděli, jak to vypočítat. Mohli jsme vzít koeficienty před x na druhou. Máte naprostou pravdu. Hned vám to ukážu. Chtěl jsem vám ukázat, že l'Hospitalovo pravidlo není jediným maršálem ve městě. A upřímně řečeno, můj první krok pro tento typ příkladů není l'Hospitalovo pravidlo. Můžete říct, že původní limita pro ‚x' blížící se k nekonečnu z výrazu: 4 krát x na druhou minus 5 krát x to celé děleno 1 minus 3 krát x na druhou je rovna limitě pro ‚x' blížící se k nekonečnu… Nakreslím zde malou čáru, aby bylo vidět, že se rovná této limitě a ne této limitě. To se rovná limitě ‚x' blížící se nekonečnu. Vytkněme x na druhou z čitatele a ze jmenovatele. Máme x na druhou krát 4 minus 5 děleno x. x na druhou krát 5 děleno x je 5 krát x. Děleno… Vytkněme x z čitatele. x na druhou krát (1 děleno x na druhou minus 3). Členy x na druhou se pokrátí. To se rovná limitě ‚x' jdoucí do nekonečna z výrazu: (4 minus 5 děleno x) děleno (1 děleno x na druhou minus 3). Čemu se to rovná? x jde do nekonečna, 5 děleno nekonečnem je 0. Super velký nekonečný jmenovatel, proto zlomek jde k 0. Celé se to blíží 0. Ze stejného důvodu se výraz vpravo se blíží také 0. Vše, co zbylo, je 4 děleno −3. Limita se rovná 4 děleno −3, neboli −4 třetiny. V principu jsme zde nepotřebovali použít l'Hospitalovo pravidlo.