Násobení lomených výrazů

Vynásobte a vyjádřete jako zjednodušený racionální výraz. Určete definiční obor. Vynásobíme to a před tím, než začneme zjednodušovat, určíme definiční obor. To se rovná, pokud prostě roznásobíme čitatele, a na druhou minus 4 krát a plus 1, to celé lomeno, teď násobíme jmenovatele, a na druhou minus 1 krát a plus 2. Nyní a na druhou minus 4 a a na druhou minus 1 nám možná něco připomínají. Jsou to rozdíly druhých mocnin, speciální typ druhých mocnin, který byste měli okamžitě, tedy aspoň v ideálním případě, rozpoznat. Má tvar a na druhou minus b na druhou, rozdíl mocnin, vždycky se dá napsat jako (a plus b) krát (a minus b). Můžeme rozložit tohle a na druhou minus 4, stejně jako můžeme i a na druhou minus 1, což nám pomůže zjednodušit výraz i celý zlomek. V horní části můžeme rozložit a na druhou minus 4 jako a plus 2, 2 na druhou je 4, krát a minus 2 a to celé krát a plus 1. Pak je tu jmenovatel, rozkládáme a na druhou minus 1. To udělám jinou barvou. a na druhou minus 1 lze napsat jako a plus 1 krát a minus 1. Vždy když si nejste jistí, jak to funguje, stačí si roznásobit závorky a uvidíte, že po vynásobení vám vyjde totéž co původně. Takže ve jmenovateli máme ještě a plus 2. Roznásobili jsme to, rozložili jsme čitatel, rozložili jsme i jmenovatel. Pojďme to trošku přeskupit. Takže pojďme dát a plus 2 na první místo jak v čitateli, tak ve jmenovateli. Tedy máme a plus 2 v čitateli a taktéž máme a plus 2 ve jmenovateli. V čitateli jsme se zajímali hlavně o a plus 2, protože to je společné, a v čitateli máme navíc ještě a minus 2. Vlastně máme a plus 1... To tu také napíšeme. Máme a plus 1 v čitateli. Také máme a plus 1 ve jmenovateli. V čitateli je a minus 2, ve jmenovateli a minus 1. Takže jsem pouze zpřeházel výrazy v čitateli i jmenovateli, takže ty výrazy, které byly stejné, pokud se opakovaly v čitateli i jmenovateli, napsal jsem je vždycky na začátek. Než budeme zjednodušovat, hodí se teď zamyslet nad definičním oborem tedy nad hodnotami, které nemůžeme použít, taková ‚a‘, která nedávají smysl, nebo v nich výraz není definovaný. Jak jsme viděli předtím, taková ‚a‘, která toto způsobí, jsou ta, která vytvoří nulu ve jmenovateli. Takže hodnoty ‚a‘, které vytvoří nulu jsou například ‚a‘ se rovná -2. Také se dá říci, že a plus 2 se rovná 0 tehdy, když ‚a‘ se rovná -2. a plus 1 se rovná 0. Odečteme 1 na každé straně, vyjde, že a se rovná -1. A pak ‚a‘ minus 1 se rovná 0. Přičteme 1 k oběma stranám a máme a se rovná 1. K tomuto výrazu musíme přidat omezení, že a se nesmí rovnat -2, -1, ani 1. ‚a‘ může být libovolné reálné číslo krom těchto tří. Tím určujeme definiční obor. Tím říkáme, že ‚a‘ může být jakékoliv reálné číslo, krom těchto zmíněných, takže tady musíme připojit malé upozornění. Když už to máme, smíme krátit. Je tady (a plus 2) lomeno (a plus 2). Když víme, že ‚a‘ se nerovná -2, tak je tohle definováno. A můžeme to vydělit sebou samým, tedy vyjde 1. Totéž tu máme s (a plus 1) lomeno (a plus 1). To taky vyjde 1. Jediné co zůstane, je a minus 2, lomeno a minus 2. Takže zjednodušený výraz je (a minus 2) lomeno (a minus 1), s omezeními, že ‚a‘ se nesmí rovnat -2, ani -1 ani 1. Asi si říkáte, proč by se ‚a‘ tady nemohlo rovnat třeba -1? -1 minus 1 bude -2. Což je definovaný výraz. Ale pokud chceme, aby tento výraz byl totožný jako ten původní, musíme zachovat omezení. Musí mít stejný definiční obor. Nemůže být definován v -1, protože tenhle výraz taky nebyl definován v -1. Tato omezení nám zajišťují, že budeme mít výraz totožný, nikoliv jen podobný.