Násobení a dělení lomených výrazů: jednočleny

Tady nahoře máme vynásobit dva racionální výrazy. Tady dělíme jeden racionální výraz druhým. Nyní vám nabízím zastavit si video a popřemýšlet o tom, co se stane, když je roznásobíte. Já nevím, možná je i nějak zjednodušíte, také bych chtěl, abyste se zamysleli nad omezeními, která se týkají hodnot x, aby byl výsledný výraz ekvivalentní s původním. Pojďme to vyřešit společně, abyste si uvědomili, o čem to mluvím. Takže tohle bude, v našem čitateli, vyjde 6x na třetí krát 2, zatímco ve jmenovateli máme 5 krát 3x. Je vidět, že čitatel i jmenovatel jsou oba dělitelní x, tak vydělme jmenovatel x. Tady bude 1. Vydělíme x na třetí děleno x. Vyjde nám x na druhou. Také je vidět, že čitatel i jmenovatel jsou dělitelní 3, takže vydělím 6 třemi, vyjde 2. Vydělíme 3 třemi, získáme 1. A zůstane nám 2x na druhou krát 2, což bude 4x na druhou děleno 5 krát 1 krát 1, tedy 5. Také to můžeme zapsat jako čtyři pětiny krát x na druhou. A teď kdyby se vás kdokoliv kolemjdoucí zeptal, pro která x je tento výraz, 4 lomeno 5 krát x na druhou, definovaný? Můžeme sem dosadit libovolné x, klidně třeba 0, protože 0 na druhou je 0, krát 4 lomeno 5 bude pořád 0, což je definované, takže pro 0 to funguje. Ale kdyby se někdo zeptal jaká musí být omezení, aby byl tento výraz ekvivalentní tomu původnímu? Potom byste měli říct, že tento první výraz není definován pro všechna x. Například, kdyby x bylo 0, potom bychom museli dělit nulou, což je nedefinovaný výraz. Můžeme explicitně říci, že x se nesmí rovnat 0. A pokud chceme, aby tyto byly ekvivalentní, musíme zde mít tu samou podmínku, že x se nesmí rovnat 0. Jiný způsob, jak nad tím přemýšlet, je, že máme funkci, takto definovanou, je to funkce f od x, která se rovná 6x na třetí lomeno 5 krát 2 lomeno 3x. A kdyby se někdo ptal, jaká je hodnota funkce v nule, řekli byste, že f je v 0 nedefinovaná. Nedefinovaná. Proč to tak je? Protože tam dosadíme x se rovná 0 a vyjde 2 lomeno 0 a to je nedefinované. Ale když si řeknete, zda by tohle šlo zjednodušit, aby nám vyšla totožná funkce? No, dá se říci, že f od x se rovná 4 lomeno 5 krát x na druhou. Ale kdybychom to nechali takto, potom by funkce v bodě 0 byla rovna nule. Takže nyní by to bylo definováno v nule, ale potom už by to byla jiná funkce. Toto jsou dvě odlišné funkce, kvůli tomu, jak jsou tu zapsané. Ale aby bylo jasné, že tahle se rovná téhle, je potřeba říci, že x se nesmí rovnat 0. Nyní jsou funkce ekvivalentní, protože když se nyní podíváme na funkci v bodě 0, x už se nerovná 0, ano? Tohle je situace, kdy x je cokoliv kromě 0, v 0 tedy není výraz definován, tedy bychom mohli říct, že f v bodě 0 není definována. Takže teď jsou obě funkce ekvivalentní, neboli tyto výrazy jsou ekvivalentní. Když už jsme v tom, pojďme vyřešit tuhle druhou situaci s dělením. Hned jak se na to podíváte, asi si říkáte, jaká omezení jsou tady? No, x nesmí být 0, protože když se x bude rovnat 0, tento druhý výraz, 5x na čtvrtou, by bylo 0 a my bychom dělili nulou. Můžeme tedy rovnou říci, že x se nesmí rovnat 0. A tak, pokud x nesmí být 0 v našem původním výrazu, potom i výsledný výraz, ať už vyjde cokoliv, aby byl ekvivalentní, musí mít stejné omezení. Pojďme to vynásobit, respektive provést dělení. Tohle je totéž jako 2x na čtvrtou lomeno 7 krát převrácený zlomek... Převrácený zlomek je 4 lomeno 5x na čtvrtou, což se bude rovnat tomu, že v čitateli bude 8x na čtvrtou. Máme 8x na čtvrtou, 4 krát 2x na čtvrtou, lomeno 7 krát 5x na čtvrtou, což je 35x na čtvrtou. A nyní je něco vidět. Můžeme to trochu zjednodušit, čitatel i jmenovatel jsou dělitelní x na čtvrtou, pojďme to tedy provést, zůstane 8 lomeno 35. Koukněme na těch osm pětatřicetin, to je definováno pro jakékoliv x. X v tom výrazu dokonce ani nemáme. Ale pokud chceme, aby byly oba výrazy ekvivalentní, potom musíme mít stejná omezení, x se nesmí rovnat nule. Je pravda, že tohle vypadá trochu nesmyslně, říci, že x se nesmí rovnat 0, když výraz ani neobsahuje x. Také si ale můžeme představit funkci g, která je definována pro x, která se rovná tomuhle všemu. A potom funkce g v bodě 0 není definována. Ale pokud řekneme, že g od x se rovná 8 lomeno 35, tak nyní už by g v nule bylo definováno také jako 8 lomeno 35, což už je ale jiná funkce. Proto aby byly algebraicky ekvivalentní, musím říci, že g od x se rovná 8 lomeno 35, ale jen když x není 0. Nebo také, že g není definováno, pokud x se rovná 0. Nebo ani nemusíte psát ten druhý řádek, a díky tomu to bude nedefinované. Ale tento výraz, tento výraz je ekvivalentní našemu původnímu, přestože jsme ho zjednodušili.