If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

9. třída

Kurz: 9. třída > Kapitola 2

Lekce 4: Násobení a dělení lomených výrazů
Matematika
9. třída
Lomené výrazy
Násobení a dělení lomených výrazů
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Násobení lomených výrazů

Učebna Google
Nauč se, jak správně vypočítat součin dvou lomených výrazů.

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Lomený výraz je podíl dvou polynomů. Podmínky nám udávají čísla proměnné, pro které je jmenovatel roven nule.
Lomené výrazy můžeme zjednodušit tím, že zkrátíme společné činitele v čitateli a jmenovateli.
Pokud ti není úplně jasné, co tím myslíme, tak se koukni nejdříve na tyto články:

Co se v této lekci dozvíš

V této lekci se naučíš, jak násobit lomené výrazy.

Násobení zlomků

Pro začátek si připomeňme, jak násobit číselné zlomky.
Uvažujme následující příklad:
=34⋅109=32⋅2⋅2⋅53⋅3Rozlozˇenıˊ cˇitatele a jmenovatele na soucˇin=32⋅2⋅2⋅53⋅3Zkraˊcenıˊ spolecˇnyˊch cˇinitelu˚=56Vynaˊsobenıˊ\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{10}{9}\\\\ &=\dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD2\cdot 5}{\greenD3\cdot 3} &&\small{\gray{\text{Rozložení čitatele a jmenovatele na součin}}} \\\\ &=\dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD{\cancel{2}}\cdot 5}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}&&\small{\gray{\text{Zkrácení společných činitelů}}} \\\\ &=\dfrac{5}{6}&&\small{\gray{\text{Vynásobení}}} \end{aligned}
Takže dva zlomky násobíme tak, že je rozložíme na součin, zkrátíme společné činitele a vynásobíme, co nám zbude.

1. příklad: start fraction, 3, x, squared, divided by, 2, end fraction, dot, start fraction, 2, divided by, 9, x, end fraction

Lomené výrazy násobíme vlastně stejně, jako násobíme zlomky.
=3x22⋅29x=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xRozlozˇenıˊ cˇitatele a jmenovatele na soucˇin(Platıˊ, zˇe x≠0)=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xKraˊcenıˊ spolecˇnyˊch cˇinitelu˚=x3Vynaˊsobenıˊ\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^2}{2}\cdot\dfrac{2}{9x}\\\\\\ &=\dfrac{3\cdot x\cdot x}{2}\cdot \dfrac{2}{3\cdot 3\cdot \goldD x}&& \small{\gray{\text{Rozložení čitatele a jmenovatele na součin}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Platí, že } \goldD{x\neq 0})}\\ \\ \\&=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{ x}}\cdot x}{\purpleC{\cancel{2}}}\cdot \dfrac{\purpleC{\cancel{2}}}{\blueD{\cancel{ 3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{ x}}}&& \small{\gray{\text{Krácení společných činitelů}}} \\ \\ &=\dfrac{x}{3}&&\small{\gray{\text{Vynásobení}}} \end{aligned}
Všimni si, že podmínky pro původní výraz jsou x, does not equal, 0. Zjednodušený výraz musím splňovat stejné podmínky. Proto musíme připsat podmínku x, does not equal, 0.
Výsledek ve zkráceném tvaru je:
start fraction, x, divided by, 3, end fraction pro x, does not equal, 0

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Vynásob a zjednoduš výsledek.
start fraction, 4, x, start superscript, 6, end superscript, divided by, 5, end fraction, dot, start fraction, 1, divided by, 12, x, cubed, end fraction, equals
pro x, does not equal
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2. příklad: start fraction, x, squared, minus, x, minus, 6, divided by, 5, x, plus, 5, end fraction, dot, start fraction, 5, divided by, x, minus, 3, end fraction

Znovu musíme rozložit na součin, zkrátit společné činitele a pak vynásobit, co nám zbylo. Nakonec nesmíme zapomenout na zapsání podmínek.
=x2−x−65x+5⋅5x−3=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Rozlozˇenıˊ na soucˇin(Platıˊ, zˇe x≠−1 a x≠3)=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Zkraˊcenıˊ spolecˇnyˊch cˇinitelu˚=x+2x+1Vynaˊsobenıˊ\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2-x-6}{5x+5}\cdot\dfrac {5}{x-3}\\\\\\ &=\dfrac{(x-3)(x+2)}{5\cdot \goldD{(x+1)}}\cdot \dfrac{5}{\maroonD{x-3}}&&\small{\gray{\text{Rozložení na součin}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Platí, že }\goldD{x\neq -1}}\text{ a }\maroonD{x\neq 3} )\\ \\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x-3)}}{(x+2)}}{\greenD{\cancel{5}}\cdot({x+1})}\cdot \dfrac{{\greenD{\cancel{5}}}}{\blueD{\cancel{x-3}}}&&\small{\gray{\text{Zkrácení společných činitelů}}}\\ \\ &=\dfrac{x+2}{x+1}&&\small{\gray{\text{Vynásobení}}} \end{aligned}
Původní výraz byl definovaný pro x, does not equal, minus, 1, comma, 3. Zjednodušený výraz musí mít stejné podmínky.
Obecně platí, že součin dvou lomených výrazů není definován pro žádnou hodnotu, pro kterou není definovaný jeden z původních výrazů.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

2) Vynásob a zjednoduš výsledek.
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 5, x, plus, 10, end fraction, dot, start fraction, x, squared, minus, 4, divided by, x, squared, end fraction, equals
Jaké podmínky musí splňovat výsledný lomený výraz?
Vyber všechny správné odpovědi.

3) Vynásob a zjednoduš výsledek.
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction, dot, start fraction, x, minus, 4, divided by, x, minus, 3, end fraction, equals
Jaké podmínky musí splňovat výsledný lomený výraz?
Vyber všechny správné odpovědi.

Co bude dál?

Pokud už máš pocit, že ti to jde, můžeš se přesunout na dělení lomených výrazů.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.