If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

9. třída

Kurz: 9. třída > Kapitola 2

Lekce 4: Násobení a dělení lomených výrazů
Matematika
9. třída
Lomené výrazy
Násobení a dělení lomených výrazů
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Dělení lomených výrazů

Učebna Google
Nauč se, jak správně vypočítat podíl dvou lomených výrazů.

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Lomený výraz je podíl dvou polynomů. Podmínky nám udávají čísla proměnné, pro které je jmenovatel roven nule.
Pravidla pro násobení lomených výrazů jsou hodně podobná těm pro násobení číselných zlomků - můžeme vytýkat, krátit a násobíme čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem.
Pokud ti není úplně jasné, co tím myslíme, tak se koukni nejdříve na tyto články:

Co se v této lekci dozvíš

V této lekci se naučíš, jak dělit lomené výrazy.

Dělení zlomků

Číselné zlomky dělíme tak, že násobíme dělence (první zlomek) převrácenou hodnotou dělitele (druhý zlomek). Například:
=29:83=29⋅38Naˊsobenıˊ prˇevraˊcenou hodnotou=23⋅3⋅32⋅4Rozlozˇenıˊ cˇitatelu˚ a jmenovatelu˚=23⋅3⋅32⋅4Zkraˊcenıˊ spolecˇnyˊch cˇinitelu˚=112Naˊsobenıˊ\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{9}\mathbin{:}{\dfrac{8}{3}}\\\\\\ &=\dfrac{2}{9}\cdot {\dfrac{3}{8}}&&\small{\gray{\text{Násobení převrácenou hodnotou}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD2}{\greenD3\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Rozložení čitatelů a jmenovatelů}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{2}}}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Zkrácení společných činitelů}}}\\\\ &=\dfrac{1}{12}&&\small{\gray{\text{Násobení}}} \end{aligned}
Stejně můžeme dělit i lomené výrazy.

1. příklad: start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, colon, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction

=3x44:9x10=3x44⋅109xNaˊsobenıˊ prˇevraˊcenou hodnotou=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xRozlozˇenıˊ cˇitatelu˚ a jmenovatelu˚=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xZkraˊcenıˊ spolecˇnyˊch cˇinitelu˚=5x36Naˊsobenıˊ\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^4}{4}\mathbin{:}\dfrac{9x}{10}\\\\\\ &=\dfrac{3x^4}{4}\cdot \dfrac{10}{9x}&&\small{\gray{\text{Násobení převrácenou hodnotou}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD3\cdot \greenD{x}\cdot x^3}{\goldD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD 2\cdot 5}{\blueD3\cdot 3\cdot \greenD{x}}&&\small{\gray{\text{Rozložení čitatelů a jmenovatelů}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{x}}\cdot x^3}{\goldD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD{\cancel{2}}\cdot 5}{\blueD{\cancel{3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{x}}}&&\small{\gray{\text{Zkrácení společných činitelů}}}\\\\ &=\dfrac{5x^3}{6}&&\small{\gray{\text{Násobení}}} \end{aligned}
Jako vždycky musíme určit podmínky. Při dělení dvou lomený výrazů není podíl definovaný...
  • pro každou hodnotu, ve které libovolný z původních výrazů není definovaný,
  • a pro každou hodnotu, ve které je dělitel roven nule.
Obecně to můžeme vyjádřit tak, že start fraction, A, divided by, B, end fraction, colon, start fraction, C, divided by, D, end fraction není definovaný v B, equals, 0, C, equals, 0 a D, equals, 0.
Podíváme se na dělitele a dělence v příkladu a určíme, pro jaké hodnoty má výsledný výraz smysl.
  • Do dělence start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction můžeme dosadit všechny x-ové hodnoty.
  • Do dělitele start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction můžeme dosadit všechny x-ové hodnoty a roven nule je v x, equals, 0.
Podmínky pro daný podíl můžeme vyjádřit jako x, does not equal, 0. Zde je celá odpověď:
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction pro x, does not equal, 0

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Vyděl a zjednoduš výsledek.
start fraction, 3, divided by, 10, x, squared, end fraction, colon, start fraction, 6, divided by, 15, x, start superscript, 5, end superscript, end fraction, equals
pro x, does not equal
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2. příklad: start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, colon, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction

Jako vždy vynásobíme dělence převrácenou hodnotou dělitele. Pak rozložíme na součin jmenovatele a čitatele, zkrátíme společné činitele a vynásobíme. Nakonec musíme určit podmínky.
=x2+x−6x2+3x−10:x+3x−5=x2+x−6x2+3x−10⋅x−5x+3Naˊsobenıˊ prˇevraˊcenou hodnotou=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅x−5x+3Rozlozˇenıˊ=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅(x−5)x+3Zkraˊcenıˊ spolecˇnyˊch deˇlitelu˚=x−5x+5Naˊsobenıˊ\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\mathbin{:} \dfrac{x+3}{x-5}\\\\\\ &=\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\cdot \dfrac{x-5}{x+3}&&\small{\gray{\text{Násobení převrácenou hodnotou}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD{(x+3)}\greenD{(x-2)}}{(x+5)\greenD{(x-2)}}\cdot \dfrac{x-5}{\blueD{x+3}}&&\small{\gray{\text{Rozložení}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x+3)}}\greenD{\cancel{(x-2)}}}{(x+5)\greenD{\cancel{(x-2)}}}\cdot \dfrac{(x-5)}{\blueD{\cancel{x+3}}}&&\small{\gray{\text{Zkrácení společných dělitelů}}}\\\\ &=\dfrac{x-5}{x+5}&&\small{\gray{\text{Násobení}}} \end{aligned}
Podíváme se na dělitele a dělence a určíme, jaké musí splňovat podmínky. Nejjednodušší je kouknout se na rozložené výrazy.
  • Dělenec start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction má podmínky, že x, does not equal, minus, 5, comma, 2.
  • Dělitel start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction má podmínky, že x, does not equal, 5, a je roven nule v x, equals, minus, 3.
Podmínky celého podílu můžeme vyjádřit pomocí x, does not equal, minus, 5, comma, minus, 3, comma, 2, comma, 5.
Kvůli tomu musíme napsat, že x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3. Už nemusíme psát x, does not equal, minus, 5, protože to je vidět z výrazu. Toto je tedy odpověď:
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction pro x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

2) Vyděl a zjednoduš výsledek.
start fraction, x, minus, 7, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction, colon, start fraction, x, squared, minus, 6, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 4, end fraction, equals
Jaké podmínky musí splňovat výsledný lomený výraz?
Vyber všechny správné odpovědi.

3) Vyděl a zjednoduš výsledek.
start fraction, x, plus, 4, divided by, x, squared, minus, 9, end fraction, colon, start fraction, x, minus, 1, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 3, end fraction, equals
Jaké podmínky musí splňovat výsledný lomený výraz?
Vyber všechny správné odpovědi.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.