Elektrická potenciální energie nábojů

Tahle věc mě kdysi mátla. Máme-li dvojici nábojů, a rovnou si je pojmenujme: Tohle bude Q1 a tohle Q2. Máte-li tyto dva náboje vedle sebe a pustíte je, rozletí se, protože se navzájem odpuzují. Shodné náboje se odpuzují, takže Q2 je tlačen doprava a Q1 je tlačen doleva. Začnou získávat kinetickou energii. Začnou zrychlovat. Ale odkud tyto částice tu kinetickou energii berou? Věříte-li v zákon zachování energie, ta energie se musela někde vzít. Odkud ta energie pochází? Co je jejím zdrojem? Zdrojem je elektrická potenciální energie. Můžeme říct, že elektrická potenciální energie se tu mění na kinetickou. V tomto systému původně byla nějaká elektrická potenciální energie a pak tu bylo méně potenciální energie a více energie kinetické. S poklesem elektrické potenciální energie roste energie kinetická. Ale celková energie v tomto systému dvou částic zůstane stejná. Odtud pochází ta kinetická energie. Bere se z elektrické potenciální energie. Písmeno, kterým fyzikové obvykle značí potenciální energie, je U. Proč U? Netuším. PE by také dávalo smysl, protože to jsou první dvě písmena slov potenciální energie. Ale častěji to vidíte takto. Dáme k tomu malý index e, abychom věděli, že mluvíme o elektrické potenciální energii, a ne například o té tíhové. Tohle bychom měli. Máme potenciální energii měnící se na kinetickou. Teď už známe vzoreček kinetické energie těchto částic. Vezmeme polovinu hmotnosti jednoho z nábojů a násobíme druhou mocninou jeho rychlosti. Jaký je vzoreček pro určení elektrické potenciální energie mezi těmito náboji? Máme-li vedle sebe dva nebo více nábojů, existuje jednoduchý vzoreček pro výpočet potenciální energie toho systému? Dobrá zpráva je, že ano. Existuje velmi hezký vzoreček, kterým to vypočítáte. Špatná zpráva je, že k jeho odvození potřebujeme matematickou analýzu. Nebudu to odvozovat v tomto videu. Na to už video existuje. Dám vám na něj odkaz. V tomto videu jen použiji výsledek, ukážu vám jak jej používat, provedu vás všemi jeho nástrahami. Vzoreček vypadá takto. K nalezení elektrické potenciální energie mezi dvěma náboji vezmeme elektrickou konstantu k, přenásobíme ji jedním z nábojů, potom vynásobíme druhým nábojem a vydělíme jejich vzájemnou vzdáleností. Tu nazveme r. Tohle je vzdálenost mezi středy. Měří se od středu jednoho z nábojů ke druhému. Je to vzdálenost r, neumocňujeme ji. Ve spoustě těchto vzorečků, například Coulombově zákoně, je r vždycky na druhou. U elektrických polí je r také na druhou, ale u potenciální energie r na druhou není. Abyste odvodili tento vzoreček, provádíte integraci. Ten integrál změní r na druhou v obyčejné r ve jmenovateli. Nesnažte se tohle umocňovat. Tentokrát je to prostě r. Toť vše. Tímto vzorečkem určíte elektrický potenciál mezi dvěma náboji. Dál mě tu mátlo ještě jedno. Říkal jsem si, je-li tohle elektrická potenciální energie náboje Q1? Nebo je to elektrická potenciální energie náboje Q2? Nejlepší odpověď je, že jde o elektrickou potenciální energii soustavy nábojů. Potřebujete aspoň dva náboje, abyste vůbec nějakou potenciální energii měli. Kdybyste měli jeden, žádná potenciální energie by tu nebyla, takže tato potenciální energie platí pro celou tuto soustavu. Protože jde o elektrickou potenciální energii a všechna energie má v soustavě SI jednotky jouly, tohle bude také v joulech. Další důležitá věc je, že elektrická potenciální energie je skalární veličina. Není to vektor. Tato energie nemá směr. Je to jen číslo s jednotkou, které říká, kolik potenciální energie je v systému. To je dobrá zpráva. Když je něco vektor, musíte to rozkládat na složky. Tady můžete mít úlohy na složky, kolik vektoru míří doprava a kolik nahoru. Ale to se elektrické potenciální energie netýká. Tato energie nemá směr a nikdy nebude mít složky. Je to prostě elektrická potenciální energie. Jak tento vzoreček použít? Jak úlohy na něj vypadají? Zkusme si nějaký příklad, kde tuhle rovnici použijeme. V našem příkladě řekneme, že známe hodnoty těchto nábojů. Začínají v klidu a vzdálenosti 3 centimetrů. Když je pustíte, odletí od sebe na vzdálenost 12 centimetrů. A potřebujeme znát ještě hmotnost každého z nábojů. Řekněme, že každý z nich má hmotnost 1 kilogram, aby nám vyšla hezká čísla. Otázkou tedy je, jak rychle se tyto náboje budou pohybovat, jakmile od sebe budou 12 centimetrů? Tento modrý náboj, Q1, bude zrychlovat směrem doleva, Q2 poletí směrem doprava. Jak rychle se budou pohybovat? Abychom to zjistili, použijeme zákon zachování energie. Náš energetický systém obsahuje oba tyto náboje. Lze říct, že když jsme zahrnuli všechno, co náš systém obsahoval, jeho celková koncová energie bude rovna celkové počáteční energii. Jakou energii měl náš systém původně? Začal v klidu, takže neměl žádnou kinetickou energii. Začali jsme tedy pouze s elektrickou potenciální energií. Nazvu to U_i, (z angl. "initial"). To se pak bude rovnat koncové energii, kdy jsou náboje 12 metrů od sebe. Čím dál od sebe jsou, tím méně potenciální energie mají, ale nějaká tu přeci bude. Nazveme ji U_f, koncová. A teď se budou náboje pohybovat. Protože se náboje pohybují, mají kinetickou energii. Takže plus kinetická energie našeho systému. Použijeme náš vzoreček potenciální energie a dostaneme, že počáteční potenciální energie bude 9 krát 10 na 9, což je elektrická konstanta k, násobená nábojem Q1. Ten je 4 mikrocoulomby. Mikro- je 10 na -6. Musíte to převést na coulomby. A pak násobíme Q2, který je 2 mikrocoulomby. To je dvakrát 10 na -6 děleno vzdáleností. Řešíme počáteční potenciální energii, takže sem dosadíme počáteční vzdálenost. Středová vzdálenost byla 3 centimetry, ale nemůžu sem dosadit číslo 3. Tohle jsou centimetry. Mají-li mé jednotky být jouly, aby mi vyšla rychlost v metrech za sekundu, musím tohle převést na metry a 3 centimetry je 0,03 metrů. Vydělíte číslem 100, protože 1 metr má 100 centimetrů. Neumocňuji to. r tady dole není na druhou, takže tohle r neumocňujete. Tohle se bude rovnat dalšímu členu, který vypadá takto. Tohle zkopíruji a vložím. Jediný rozdíl je, že tohle je teď koncová potenciální energie. Hodnota K je pořád stejná. Náboje jsou pořád stejné. Rozdíl je jen v tom, že se rozletěly, už od sebe nejsou 3 centimetry, ale 12 centimetrů. Dosadíme 0,12 metrů, protože 12 centimetrů je 0,12 metrů. Pak musíme přičíst kinetickou energii. Zatím jí budu říkat jen K. Celková kinetická energie systému poté, co se rozletěly do 12 centimetrů. Když to spočítáme, vynásobíme všechno na levé straně, dostaneme 2,4 joulů počáteční potenciální energie. A to se bude rovnat, když vypočítáte tohle všecko, vynásobíte náboje, vydělíte 0,12 a vynásobíte 9 krát 10 na 9, dostanete 0,6 joulů elektrické potenciální energie ve vzdálenosti 12 centimetrů, plus kinetická energie systému, kterou teď můžeme nahradit vzorečkem kinetické energie, který je 1/2 m v na druhou. Ale tady je chyták. Oba tyto náboje se pohybují, takže chceme-li to udělat správně, musíme vzít v úvahu, že kinetickou energii mají oba náboje, ne jen jeden. Pokud sem dám 1/2 krát 1 kilogram krát v na druhou, dostanu špatné řešení, protože jsem zanedbal skutečnost, že druhá částice má také kinetickou energii. Vybereme si ze dvou postupů. Hmotnosti jsou shodné, náboje budou mít stejnou rychlost, což znamená, že hmotnost můžeme uvést jako 2 kilogramy krát rychlost na druhou, nebo můžete napsat člen pro každý náboj zvlášť, což je bezpečnější. Udělám to tak. Snáze se o tom přemýšlí. Teď to vypočítám. 2,4 minus 0,6 bude 1,8 joulů, což se rovná 1/2 krát 1 kilogram krát rychlost druhé částice na druhou plus 1/2 krát 1 kilogram krát rychlost první částice na druhou. A tady musíme argumentovat. Protože tyto náboje mají stejnou hmotnost, budou se pohybovat stejnou rychlostí. 1/2 v na druhou plus 1/2 v na druhou bude prostě jenom v na druhou, protože polovina v na druhou plus polovina v na druhou je celé v na druhou. Teď si můžete říct, "počkat, tenhle náboj má sice stejnou hmotnost, "ale má víc náboje než tenhle druhý náboj. "Nebude se tento druhý náboj pohybovat rychleji, protože byl více nabitý?" Ne, nebude. Síla, kterou na sebe tyto náboje budou působit, bude pořád stejná, i když měly jiné náboje. Jde to proti rozumu, ale je to pravda. Říká nám to Newtonův třetí zákon. Budou-li na sebe po stejné dráze působit stejnými silami, vykonají na sobě stejné množství práce. A mají-li stejnou hmotnost, budou se pohybovat stejně rychle. Mají tedy stejnou rychlost, společnou rychlost, kterou nazvu v. Teď v prostě vypočítám, odmocním každou ze stran a vyjde mi, že rychlost každého z nábojů bude odmocnina z 1,8. Měl bych ty jouly nejprve dělit kilogramy, protože i když tohle bylo 1, aby mi vyšly jednotky, měl bych mít jouly na kilogram. Odmocním-li tohle, získám 1,3 metru za sekundu. Tak rychle se tyto náboje budou pohybovat, když jsou od sebe vzdáleny 12 centimetrů. Potenciální energie se přeměnila na energii kinetickou. Potenciální energie na konci byla nižší než na začátku a všechna ta energie se přeměnila na kinetickou energii těchto nábojů. Úlohu jsme vyřešili. Zkusme ji pozměnit. Místo abychom začínali v klidu, kdy jsou od sebe náboje 3 centimetry, řekněme, že začnou z klidu ve vzdálenosti 12 centimetrů, ale náboj Q2 bude záporný. Místo +2 mikrocoulombů bude mít -2 mikrocoulomby. Když je tento náboj záporný, bude přitahován tímto kladným nábojem a zároveň kladný náboj bude přitahován k zápornému. Řekněme, že je pustíme z klidu ve vzdálenosti 12 centimetrů a necháme je letět k sobě až na vzdálenost 3 centimetrů. Pak položíme tu samou otázku, tedy jak rychle poletí ve vzájemné vzdálenosti 3 centimetrů? Co by se změnilo tady v těch výpočtech? Protože je vypouštíme z klidu, začínáme s nulovou kinetickou energií, to se nemění. Ale tentokrát nezačaly ve vzdálenosti 3 centimetrů, takže místo abych začal na 3 a skončil na 12, začnu na 12 centimetrech a skončím na 3 centimetrech. Co dalšího se změní? Jediná další věc, co se změnila, bylo znaménko Q2. A možná si myslíte, že bych sem neměl dosazovat znaménka nábojů, protože se to zamotá. To ale pl atilo pro elektrické pole a sílu. Nejsou-li tohle vektory, můžete dosazovat kladná a záporná znaménka. Měli byste. Není nic snazšího, stačí dosadit plusy a minusy. A tahle rovnice vám řekne, kde skončíte s kladnou a kde se zápornou potenciální energií. Neradi dáváme znaménka do rovnic elektrického pole a síly, protože to jsou vektorové veličiny a u vektorů musíme rozhodnout, kterým směrem míří, a tohle znaménko nás může zmást. Ale v tomto případě nás nezmate. Toto minus nám řekne, kde máme kladnou a kde zápornou potenciální energii. Nemusíme si lámat hlavu rozkladem vektoru, protože tohle jsou skaláry. Zkrátka u kladného náboje dosadíme plus a u záporného náboje dosadíme minus. Tenhle vzoreček je chytrý a ví, co dělat. Protože počítáme se skaláry, nemusíme řešit rozklad na složky. Místo této 2 tady nahoře dosadím -2 mikrocoulomby. Místo +2 v tomto vzorečku budeme mít -2 mikrocoulomby. Roznásobíme-li tuto levou stranu, asi vás to nepřekvapí. Vyjde nám -0,6 joulů počáteční potenciální energie. To vás možná zaskočí. Začínáme se zápornou potenciální energií? To nedává smysl, jak dostat kinetickou energii ze systému, který začíná s potenciální energií menší než 0? Vypadá to divně. Jak můžu začít s potenciální energií menší než 0, a stejně nějakou kinetickou energii získat? Je to tím, že tento člen, člen koncové potenciální energie, bude ještě zápornější. Když jej vypočítám, vyjde mi -2,4 joulů. A pak k tomu přidáme kinetickou energii systému. Náš systém získává kinetickou energii, protože pořád ztrácí energii potenciální. To, že máte zápornou potenciální energii neznamená, že jí nemůžete mít méně, než s jakou jste začali. Je to jako finance. I když začnete v dluhu, můžete dál utrácet. Pořád si můžete pořídit kreditní kartu a zadlužit se ještě víc. Můžete pořád nakupovat, i když nemáte peníze, nebo máte míň než 0. Znamená to jen, že se ještě víc zadlužíte. A to dělá tenhle elektrický potenciál. Zadlužuje se ještě víc, aby mohl financovat zisk kinetické energie. Není to nejlepší finanční investice, ale tohle je fyzika, je jí to jedno. Takhle získáme kinetickou energii systému. Přičteme k oběma stranám 2,4 joulů a nalevo vyjde +1,8 joulu, což se rovná… Máme dva členy, protože se oba náboje pohybují. 1/2 krát 1 kilogram krát rychlost jednoho náboje na druhou plus 1/2 krát 1 kilogram krát rychlost druhého náboje na druhou, což nám zase dá v na druhou. Když vypočítáme v, vyjde stejná hodnota jako posledně: 1,3 metry za sekundu. Opakování: vzorec pro výpočet elektrické potenciální energie mezi dvěma náboji bude k Q1 Q2 lomeno r. Energie je skalární veličina, takže můžete dosazovat záporná znaménka, která vám řeknou, zda je potenciál kladný, nebo záporný. Protože je to energie, můžete počítat se zákonem zachování energie. Systémy mohou mít zápornou elektrickou potenciální energii a mohou i přesto převádět energii na kinetickou. Stačí, aby jejich elektrická potenciální energie byla ještě zápornější.