Úvod do arkus kosinu

Už jsem udělal videa o funkcích arcsin a arctg, abych tedy doplnil svatou trojici, mohl bych udělat i video o arkus kosinu. Stejně jako ostatní cyklometrické funkce, arccos se zavádí tím stejným myšlenkovým procesem. Pokud bych vám řekl, že arccos(x) je rovno θ, je to jako říct, 'inverzní funkce k cos' z hodnoty 'x' je rovno θ. Jsou to dva způsoby toho samého. Pokaždé, když vidím „arc-“ nebo inverzní funkci ke goniometrické, v hlavě si to přeskládám. Okamžitě to chápu jako úlohu, cos(θ) je rovno 'x'. To nahoře v podstatě převedu na toto. Zeptám se-li, kolik je arccos(x), v hlavě si to převedu na otázku: „Kosinus jakého úhlu θ se rovná 'x'?“ Když už to víme, pusťme se do příkladu. Řekněme, že se ptám na arccos(-1 lomeno 2). V hlavě si to převedu… Řekněme, že se to rovná nějakému úhlu. Je to ekvivalentní tvrzení, že kosinus neznámého úhlu je roven (-1 lomeno 2). Jakmile to vidím takto, nebo alespoň v hlavě to tak vidím, je to mnohem snazší na zpracování. Nakresleme si jednotkovou kružnici a uvidíme, zda uděláme nějaký pokrok. Pokusím se to nakreslit rovně. Možná tu mám nějakou funkci pravítka, abych mohl nakreslit rovnou čáru. Toto je osa y, toto je osa x. Není to nejlepší, ale stačí to. Nakreslím kružnici. Vypadá to víc jako elipsa, ale vy mi rozumíte. Kosinus nějakého úhlu je definován jako x-ová souřadnice bodu na kružnici. Máme-li nějaký úhel, x-ová souřadnice bude (-1 lomeno 2). Zde máme (-1 lomeno 2). Úhel, který hledáme, naše θ, je úhel, jehož rameno protne jednotkovou kružnici v bodě, jehož x-ová souřadnice je (-1 lomeno 2). Toto je úhel, který hledáme. Toto θ se snažíme zjistit. Jak to uděláme? Toto je (-1 lomeno 2). Zjistěme tyto úhly. Způsob, jak to dělám, je, že přijdu na tento úhel. Znám-li tento úhel, odečtu jej od 180 ° a dostanu tento světle modrý úhel, což je vlastně řešení naší úlohy. Trochu ten trojúhelník zvětším. Udělám to takto. Ten trojúhelník vypadá nějak takto. Kde je tato délka je rovna (1 lomeno 2). Tato délka je rovna (1 lomeno 2). Tato délka je rovna 1. Snad jste poznali, že to bude trojúhelník 30-60-90. Můžete dopočítat i tu další stranu. Bude to ('odmocnina ze 3' lomeno 2). Abyste zjistili délku této strany, využijte Pythagorovy věty. Vlastně to udělám. Nazvěme tuto stranu třeba 'a'. 'a na druhou' plus '(1 lomeno 2) na druhou', což je vlastně (1 lomeno 4), je '1 na druhou', což je 1. 'a na druhou' je rovno (3 lomeno 4), tedy 'a' je rovno ('odmocnina ze 3' lomeno 2). Ihned poznáváte, že jde o trojúhelník 30-60-90. To víte, neboť jeho strany jsou rovny… Je-li přepona 1, pak jsou zbylé strany (1 lomeno 2) a ('odmocnina ze 3' lomeno 2). A víte, že úhel naproti straně o délce ('odmocnina ze 3' lomeno 2) je 60 °. Toto je 60 °. Toto je 90 °. Toto je pravý úhel a toto je úhel 30 °. Toto nás zajímá. Zjistili jsme, že tento úhel je vlastně 60 °. Jak je velké toto? Jak velký je tento úhel, který nás zajímá? Jaký úhel je doplňkový k 60 °? Je to 180 °. arccos(-1 lomeno 2) je rovno 120 °. Napsal jsem tu 180 °? Je to 180 ° minus 60 °. Toto celé je 180 °, takže toto je 120 °. 120 ° plus 60 ° je 180 °. Pokud bychom to chtěli v radiánech, je to 120 ° krát (π radiánů lomeno 180 °), stupně se vykrátí, (12 lomeno 18) je (2 lomeno 3), je to tedy rovno (2π lomeno 3) radiánů. Toto je rovno (2π lomeno 3) radiánů. Tak jako jsme viděli u arcsin a arctg, možná si řeknete: „Ok, mám (2π lomeno 3), to dá kosinus roven (-1 lomeno 2). Můžu to napsat. cos(2π lomeno 3) je rovno (-1 lomeno 2). To mi dá stejnou výpovědní hodnotu jako toto tvrzení nahoře. Můžu však pokračovat podél kružnice. Například mohu jít k tomuto bodu. Například kosinus tohoto úhlu je také (-1 lomeno 2). Pak bych mohl jít dokola o 2π a dostat se zpátky sem. Je zde hodně hodnot, jejichž kosinus je roven (-1 lomeno 2).“ Musíme se tedy omezit. Musím omezit hodnoty, kterých arccos může nabývat. Omezujeme tedy jeho obor hodnot. Omezujeme obor hodnot na tuto horní polovinu. na první a druhý kvadrant. Tvrdíme-li, že arccos(x) je roven θ, musíme omezit obor hodnot, tedy omezit θ. θ musí být větší nebo rovno než 0 a zároveň menší nebo rovno než 2π. Omlouvám se, ne 2π. …menší nebo rovno než π. Toto je tedy 0 ° a toto je 180 °. Omezujeme se na tuto polovinu. Toto je nyní jediný bod, kde je kosinus příslušného úhlu je roven (-1 lomeno 2). Tento úhel nebereme v potaz, je mimo obor hodnot. Jaké jsou příslušné hodnoty 'x'? Kosinus libovolného úhlu bude mezi -1 a +1. Definiční obor arccos bude: 'x' je menší nebo rovno než 1 a zároveň větší nebo rovno než -1. Znovu si to zkontrolujme. Ověřme na kalkulačce, zda je arccos(-1 lomeno 2) roven (2π lomeno 3). Zapneme ji. Hledám inverzní funkci ke kosinu. To je arccos(-1 lomeno 2). Dává mi to zvláštní desetinné číslo. Ověřme, jestli je to rovno (2π lomeno 3). 2π lomeno 3 je opravdu rovno tomu samému číslu. Mám stejný výsledek jako kalkulačka. Je mi to k ničemu. Dobrá, není to k ničemu, je to správná odpověď, ale není to hezká odpověď. Nevěděl jsem, že je to (2π lomeno 3). Když jsme to počítali ručně, získali jsme správnou odpověď. Snad jste tedy… Vlastně to zakončím zajímavou otázkou. A platí to pro všechny cyklometrické funkce. Řekněme, že se zeptám, čemu bude rovno cos(arccos(x))? Mohu to přepsat, dejme tomu, že arccos(x) je θ. Znamená to, že cos(θ) je rovno 'x'? Je-li arccos(x) rovno θ, můžeme to za θ dosadit. Pak je cos(θ) rovno 'x'. Toto bude tedy rovno 'x'. Snad jsem vás nezmátl. Tvrdím, že označím-li arccos(x) jako θ, dle definice je cos(θ) rovno 'x'. Jsou to ekvivalentní tvrzení. Vezmu-li cos(θ), bude to rovno 'x'. Položím vám ještě bonusovou zákeřnou otázku. Toto platí pro všechna 'x'. Platí to pro všechna 'x' v intervalu od -1 do 1, včetně -1 a 1. Co kdybych se zeptal na arccos(cos(θ))? Čemu to bude rovno? Má odpověď zní: Záleží na θ. Je-li θ v oboru hodnot, tedy mezi 0 a π, pak je to rovno θ. Pokud θ splňuje tuto podmínku. Co kdybychom však měli θ mimo tento obor hodnot? Vyzkoušejme to. Udělám to nejdříve pro θ z oboru hodnot. Arkus kosinus kosinu něčeho, co známe. Držme se (2π lomeno 3). cos(2π lomeno 3), to je rovno arccos(-1 lomeno 2). cos(2π lomeno 3) je (-1 lomeno 2). To jsme viděli dříve ve videu. Pak jsme to vyřešili. Řekli jsme, že je to rovno (2π lomeno 3). Pro θ z intervalu mezi 0 a π to platí. To protože arccos dává za výsledek hodnoty mezi 0 a π. Co kdybych se však zeptal, čemu je rovno arccos(cos(3π))? Rychle zde tedy nakreslím jednotkovou kružnici. Toto jsou mé osy. Kolik je 3π? 2π je, když obejdu celou kružnici. Pak ještě jedno π, dojdu tedy až sem. 1,5krát jsem obešel kružnici. To je 3π. Jaká je x-ová souřadnice? Je to -1. cos(3π) je -1. Kolik je arccos(-1)? Vzpomeňte si, obor hodnot, tedy přípustné výstupy funkce arccos, je v této horní polovině. Je to interval od 0 do π. arccos(-1) bude roven π. Bude to rovno π. arccos(-1) je roven π. To je rozumné tvrzení, neboť rozdíl mezi 3π a π je jeden oběh jednotkové kružnice. Dostanete se tedy na stejné místo na jednotkové kružnici. Řekl jsem si, že vám to ukážu. Toto je vlastně docela užitečné. Napíšu to vlastně sem. Toto je užitečné. cos(arccos(x)) bude vždy 'x'. To samé platí pro sinus. sin(arcsin(x)) bude vždy 'x'. Jsou to užitečné věci, ale neměli byste si je pamatovat, neboť si je můžete zapamatovat špatně. Trošku se nad nimi zamyslete a nikdy je nezapomenete.