Omezení definičního oboru funkcí k vytvoření inverzní funkce

Na jaké intervaly můžeme omezit funkci kosinus z (x minus pí čtvrtin), abychom k této funkci mohli vytvořit funkci inverzní? Máme tu nakreslený graf funkce kosinus (x minus pí čtvrtin), abychom věděli, jak vypadá. Nejdříve si řekneme, jaká musí být funkce, ke které lze udělat inverzní funkci. Funkce je zobrazení z množiny prvků, kterou nazýváme definiční obor... ...nějak mi dnes nechce fungovat pero, tak snad to zvládnu i tak... Toto je tedy náš definiční obor. A tady vedle nakreslím obor hodnot. Funkce zobrazuje prvky z definičního oboru na prvky z oboru hodnot. Takto funguje funkce. Inverzní funkce zobrazuje naopak z oboru hodnot do definičního oboru. Tedy tento směr označím jako 'f' na minus 1. To je tedy směr funkce. A toto je směr inverzní funkce. K funkci nemůžu udělat inverzní, pokud zaprvé není prostá, tedy když pro dva prvky vrací stejnou funkční hodnotu. Oba tyto prvky se zobrazují do tohoto prvku z oboru hodnot. Je to u obou stejný směr, je to funkce. V tomto případě je ale nemožné vytvořit funkci, kterou se vrátíme zpět. Když totiž zadám tento prvek do funkce inverzní, kam mě to dovede? Dostaneme se do tohoto prvku definičního oboru, nebo tohoto? Tedy z toho jsme si odvodili, že potřebujeme zobrazení 1 prvku na 1 prvek. Tedy, že každému prvku v definičním oboru přísluší pouze 1 prvek z oboru hodnot. Můžeme se na to podívat i jinak. Můžeme si do grafu nakreslit vodorovnou přímku a následně sledovat, zda-li se s grafem protne jednou nebo vícekrát. V našem případě se protne vícekrát, pojďme si to ukázat. Když tu nakreslím vodorovnou přímku... ...čemu to ale vlastně vadí? To nám totiž ukazuje... ...teď mě napadá, že bych to mohl udělat ve výšce, se kterou se bude lépe počítat. Takže ji nakreslím zde. Proč jsou průsečíky s vodorovnou čárou problém? Ukazují nám totiž prvky definičního oboru, které se zobrazují do stejného prvku z oboru hodnot. Konkrétně se zobrazují do prvku 0,5. Když si vezmu tuto x-ovou hodnotu a chci zjistit funkční hodnotu, vyjde mi 0,5. Funkční hodnota tohoto bodu je také 0,5 a stejně tak i tady je to 0,5. Pokud to tak máme, že se více prvků z definičního oboru zobrazí do stejného prvku z oboru hodnot, potom nelze sestrojit funkci inverzní. Z tohoto důvodu se pokusíme omezit definiční obor tak, aby se mi na tomto intervalu graf protínal s vodorovnou přímkou jen jednou. Pojďme se znovu podívat na graf zadané funkce, a zároveň na nabízené možnosti. První nám nabízí otevřený interval od minus 5 pí lomeno 4... ...to je vlastně záporné pí a k tomu ještě čtvrtina pí navrch. Začíná nám tedy zde a pokračuje dál až do minus pí čtvrtiny. To je tento definiční obor... ...vyznačím to tu jinou barvou. Je to tedy tento interval, přičemž krajní body do něj nejsou zahrnuty. Můžu si zde znovu zakreslit vodorovnou přímku. Zajímá mě jen tento interval. Hned vidím, že tu jsou dva prvky, které se zobrazí do stejné funkční hodnoty. Pokud bych měl sestrojit inverzní funkci k tomuto, jak by vypadala? Jaká by byla inverzní hodnota k funkční hodnotě minus 0,6? Byla by to tato hodnota, nebo snad tato? Nemůžeme určit, proto první možnost škrtáme. Dále tu máme interval od minus pí do pí. Vyznačím si to zas pomocí barvy na mém grafu. Začínám na minus pí a končím na pí. Začínám tady blízko té předchozí hranice na minus pí a jdu až do pí. V pí mi končí tento umělý definiční obor. Stejně jako minule, i na tomto intervalu můžu načrtnout vodorovnou přímku. A hned vidím, že... ...vlastně bych mohl použít i tu úplně původní modrou přímku. Všimněte si, že máme hned několik prvků definičního oboru zobrazujících se do 0,5. K čemu bychom se tedy dostali inverzí z funkční hodnoty 0,5? To bohužel nedokážeme říct, jelikož se dostáváme do více prvků. Proto i druhou možnost škrtáme. Další je interval od minus pí půl do pí půl. Minus pí polovin je tady... trochu mi už dochází barvy... Tedy od minus pí polovin do pí polovin. Tady to vypadá zajímavě. Pokud si tu zakreslím vodorovnou čáru tady, tady nebo tady, tak to vychází. Pokud si jí ale zakreslím zde, zase mi protne graf ve dvou bodech. Zas mám dva prvky definičního oboru, které se mi zobrazují do této funkční hodnoty. Proto i třetí možnost škrtám. Už mi zbývá jen jedna možnost a já doufám, že to bude ta správná. Tou je otevřený interval od pí polovin do 5 čtvrtin pí. 5 čtvrtin pí je jako pí a ještě čtvrtina k tomu. Vypadá to, že žádná vodorovná čára neprotne graf dvakrát. Ať už udělám vodorovnou čáru kdekoliv na tomto intervalu... ...vyznačím to tu na celé délce zadaného definičního oboru a vždy graf protnu pouze jednou. Pro každou funkční hodnotu dokážu určit původní prvek z definičního oboru. Tedy poslední možnost prošla naší zkouškou pomocí vodorovných čar. Tuto tedy zaškrtávám.