Úvod do arkus tangenty

V posledním videu jsem vám ukázal, co to je, kdyby někdo přišel a ptal se vás na arkus sinus... Tohle se bude rovnat kdoví čemu. Tohle je ta samá věc, jako říct, že sinus nějakého úhlu se rovná 'x'. Takových případů jsme několik vyřešili v minulém příkladu. Podle stejného postupu... Ukáži vám to. Také bych to mohl přepsat jako inverzní funkci sinus 'x' se rovná něčemu. Toto jsou ekvivalentní vyjádření. Dva způsoby, jak zapsat inverzní funkci od sinu. Tenhle je víc... Toto je inverzní funkce od sinu. Není to jako mocnina na minus první. Jenom se ptáte, sinus jakého úhlu, proto ten otazník, sinus jakého úhlu se rovná 'x'? A to už jsme dělali v posledním videu. Podle stejného vzorce, kdybych k vám na ulici přišel a ptal se vás na tangens... Inverzní funkci k tangens 'x', čemu by se to rovnalo? Měli byste si ihned v hlavě uvědomit, že se ptám na to, tangens kterého úhlu se rovná 'x'. A musíme přijít na to, který úhel to je. Pojďme si ukázat příklad. Řekněme že jsem na vás narazil na ulici. To se na ulicích často stává. A zeptal bych se, čemu se rovná arkus tangens -1? Nebo bych se stejně tak mohl zeptat, čemu se rovná inverzní funkce od tangens v bodě -1. To jsou rovnocenné otázky. To, co byste měli udělat, je ve svém mysli si, pokud to nemáte zapamatované, nakreslit jednotkovou kružnici. Připomenu teď, na co se ptáme u funkce tangens. Tangens θ (theta), toto je klasická funkce, žádný inverzní tangens, se rovná sinus θ lomeno kosinus θ. A sin (θ) je y-ová hodnota na jednotkové funkci... Tedy na jednotkové kružnici. A kosinus θ je x-ová hodnota. Takže pokud si nakreslíte přímku... Tady si nakreslím jednotkovou kružnici. Mám takovouto jednotkovou kružnici. A řekněme, že máme nějaký úhel. Bude to úhel θ. A toto je mé 'y', mé souřadnice 'x' a 'y'. Už víme, že y-ová hodnota je sinus θ. Trochu se posunu. Sinus θ. A také víme, že tato x-ová hodnota je kosinus θ. Takže čemu se rovná tangens. Je to tahle vzdálenost dělená touto vzdáleností. Nebo z vašich hodin algebry vám to možná je povědomé, protože začínáme v počátku, v bodě [0;0]. Toto je změna v 'y' lomeno změna v 'x'. Nebo také sklon přímky. Nebo je to zároveň tangens θ, stejně tak jako sklon této přímky. Sklon. Také se dá napsat, že sklon se rovná tangens θ. Pamatujte si to, zatímco půjdeme na náš příklad. Když se vás zeptám... Napíšu to ještě tady... Kolik je inverzní funkce od tangens v bodě -1? Budu to přepisovat. Nebo také arkus tangens -1? Ptám se, který úhel dává sklon přímky -1 na jednotkové kružnici. Pojďme nakreslit jednotkovou kružnici. Nakreslíme si jednotkovou kružnici takto. Potom jsou osy takhle. A chceme sklon -1. Sklon -1 vypadá nějak takto. Kdyby to vypadalo takhle, byl by to sklon 1. Jaký je tenhle úhel? Aby tento sklon byl rovný -1, tyto dvě vzdálenosti musí být stejné. A možná už jste poznali, že toto je pravý úhel. Takže tyto úhly musí být stejné. Proto tohle bude trojúhelník s úhly 45 °, 45 ° a 90 °. Je to rovnoramenný trojúhelník. Tyto dva úhly musí být dohromady 90 ° a být stejné, proto 45 °, 45 °, 90 °. A jak víte, tak 45 °, 45 °, 90 °... Vlastně ani nemusíme znát délky jeho stran. V předešlém videu jsme viděli, že to bude... Přesně tady. Tato vzdálenost je odmocnina ze 2 lomeno 2. Takže tato y-ová souřadnice je odmocnina ze 2 lomeno 2. A tato x-ová souřadnice na ose 'x' je odmocnina ze 2 lomeno 2, protože to je tahle délka. Takže odmocnina ze 2 lomeno 2, to celé na druhou, plus odmocnina ze 2 lomeno 2, to celé na druhou, se rovná 1 na druhou. Je důležité si uvědomit, že to je trojúhelník 45 °, 45 °, 90 °. Takže tenhle úhel, pokud se na ten trojúhelník sami podíváte, řekli byste, že to je úhel 45 °. Ale protože jdeme proti směru hodinových ručiček, pod osu 'x', nazveme ho -45 °. Takže tangens -45 °... Napíšu to tady. Jsme ve stupních. Což bude jak bych chtěl. Mohl bych napsat, že tangens -45 ° se rovná této záporné hodnotě, - odmocnina ze 2 lomeno 2, lomeno (odmocnina ze 2 lomeno 2), což se rovná -1. Nebo bych mohl napsat arkus tangens -1 se rovná -45 °. Pokud bychom pracovali s radiány, museli bychom to na ně převést. Takže to násobíme... Máme π radiánů na každých 180 °. Stupně se pokrátí. Takže zbude 45 lomeno 180. To se vejde 4 krát. Takže se to rovná... Máme tu záporné znaménko... -π lomeno 4 radiánů. Takže arkus tangens -1 se rovná -π lomeno 4, nebo také inverzní funkce k tangens z -1 se taktéž rovná -π lomeno 4. Nyní byste si mohli říct, teď jsme v bodě -π lomeno 4, to je zde. V pořádku. To dává hodnotu -1, protože sklon této přímky je -1. Ale můžeme jít dále po kružnici. Dalo by se přičíst 2π. Mohl bych přičíst k tomuto ještě 2π, což by vedlo k... Pokud si vezmu tangens tohoto úhlu, také vyjde -1. Nebo mohu znova přičíst znova 2π a opět vyjde -1. Vlastně bych mohl jít do tohoto bodu. A tangens opět bude -1, protože tohle je sklon. A jak jsem říkal u sinu, ve videu o inverzní funkci k sinu, nemáme takovou funkci, která by se rovnala 1 v mnoha bodech. Inverzní funkce k tangens 'x' nemůže nabývat spoustu různých hodnot. Nemůže se rovnat -π lomeno 4. Nemůže se rovnat 3... Kolik by to bylo? 3π lomeno 4. Nevím. Bylo by to řekněme 2π minus π lomeno 4. Nebo 4π minus π. Nemůže nabývat všechny tyto různé hodnoty. Takže musíme sestrojit obor hodnot inverzní funkce od tangens. Omezíme ji podobně jako jsme to udělali u sinu. Obor hodnot inverzní funkce od sinu. Omezíme ji na první a čtvrtý kvadrant. Takže výsledek inverzní funkce od tangens bude vždycky někde v těchto kvadrantech. Ale nemůže být v tomto bodě ani v tomto. Protože tangens je nedefinovaná v bodě π lomeno 2 a -π lomeno 2. Protože zde je sklon svislý. Zde bychom dělili... Změna v 'x' je 0. Takže bychom dělili... Kosinus θ je 0. Takže pokud tím dělíme, není to definovaný výraz. Takže náš obor hodnot... Napíšu to. Pokud mám inverzní funkci k tangens 'x', tak budu... Jakých hodnot může nabývat tangens? Pokud mám tangens θ se rovná x, jakých hodnot může nabývat 'x'? Tohle jsou všechny možné sklony. A sklon může být jakýkoliv. Takže 'x' může být cokoliv mezi minus nekonečnem a nekonečnem. Tedy 'x' může nabývat jakékoliv hodnoty. Ale co θ? Právě jsem to řekl. θ může nabývat hodnot od (-π lomeno 2) do (π lomeno 2). A tyto krajní hodnoty nejdou zahrnout, protože zde je svislý sklon. Potom řekneme, že... Pokud se jedná o klasický tangens, nikoliv inverzní, že definiční obor, se pořád opakuje, takže ho nevyjádřím přesně. Ale když chci udělat inverzní funkci k tangens tak, aby nevycházela hodnota 1, chci se vyhnout těmto všem... Omezím θ, tedy obor hodnot, tak, aby byl mezi -π lomeno 2 a π lomeno 2. A pokud tedy omezím takto obor hodnot a vyloučíme tenhle a tenhle bod, pak nám zbývá jediný výsledek. Když se ptáme, tangens které hodnoty dává sklon rovný -1? Což je to, na co se ptáme. Tak je jen jedna odpověď. Tenhle bod vypadává. A přes to, že můžu jet kolem dokola kruhu, tyto hodnoty vypadávají z oboru hodnot pro θ, který jsem vám zde napsal. Aby bylo jisté, že to je správně. Naše odpověď je π lomeno 4. Schválně, jestli nám totéž vyjde s kalkulačkou. Takže inverzní funkce tangens z -1 se rovná tomuto. Schválně jestli je to totéž, jako -π lomeno 4. Tedy -π lomeno 4 se rovná tomuto. To je -π lomeno 4. Je dobré, že jsme to vyřešili i bez kalkulačky, protože jinak se těžko pozná, že toto je -π lomeno 4.