Odhadování limit z grafů (článek)

Mezi hodnotou, ke které se funkce blíží, které říkáme limita, a hodnotou, kterou funkce přímo nabývá, je významný rozdíl. Grafy nám tento rozdíl pomohou lépe pochopit.

Ve výše uvedeném příkladu vidíme, že funkční hodnota v bodě 2 sice není definovaná, ale limitní hodnota funkce v tomto bodě je přibližně

0, 25

Nezapomeň, že mluvíme pouze o přibližné hodnotě. Kdybychom chtěli, mohli bychom si graf ještě více přiblížit a získat lepší odhad hodnoty limity.

Příklady

Níže uvedené příklady zvýrazňují zajímavější případy určování přibližné hodnoty limity pomocí grafu. V některých příkladech se funkční a limitní hodnota rovnají, v jiných příkladech jsou tyto hodnoty různé.

Hodnota limity se někdy rovná funkční hodnotě.

Příklad 1

Která z následujících možností je nejlepším odhadem $lim_{x \to 1} g (x)$ ‍ ?

Ale někdy jsou hodnota limity a funkční hodnota různé.

Kdykoliv pracuješ s funkcí, která je definované po částech, můžeš mít graf jako je třeba tento:

Příklad 2

Která z následujících možností je nejlepším odhadem $lim_{x \to 1} g (x)$ ‍ ?

Důležité ponaučení: Může se stát, že limita funkce není to samé jako funkční hodnota v daném bodě.

A to, že funkce není pro nějaké číslo x definovaná, ještě neznamená, že neexistuje její limita.

V grafech racionálních funkcí můžeme někdy vidět "díry", a to v bodech, ve kterých funkce není definovaná, protože její jmenovatel by byl nula. Podívej se na jeden klasický příklad:

V tomto případě to vypadá, že limita pro

x

blížící se k

0

bude rovna

1

, protože právě k této hodnotě se zdánlivě blíží hodnoty

y

, když je

x

čím dál tím blíže k

0

. Vůbec nezáleží na tom, že funkce není v bodě

x = 0

definovaná. Její limita přesto existuje.

Vyzkoušej si tento příklad:

Příklad 3

Která z následujících možností je nejlepším odhadem $lim_{x \to - 4} f (x)$ ‍ ?

Klíčová myšlenka: Hodnota funkce v bodě

x = - 4

není pro určení této limity důležitá. Záleží jen na tom, k jaké hodnotě se blíží

y

, když je argument funkce čím dál tím blíže k bodu

x = - 4

Na druhou stranu to, že je funkce v nějakém bodě $x$ ‍ definovaná, ještě neznamená, že limita v tomto bodě existuje.

Stejně jako v dřívějším případě i zde vidíme, co se může stát, když pracujeme s po částech definovanými funkcemi. Všimni si, že když se k bodu

x = 3

blížíme z obou stran, neblížíme se k té samé hodnotě

y

Příklad 4

Která z následujících možností je nejlepším odhadem $lim_{x \to 3} g (x)$ ‍ ?

Chceš víc příkladů na procvičení? Doporučujeme toto cvičení.

Grafické kalkulačky jsou už pěkně chytré.

Grafické kalkulačky jako Desmos ti mohou poskytnout představu, co se bude dít s hodnotami

y

, když se blížíme k určité hodnotě

x

. Pomocí grafické kalkulačky zkus odhadnout tyto limity:

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}, \\ lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} - 9} . \end{aligned}

V obou případech není funkce v bodě

x

, k němuž se blížíme, definovaná, ale její limita přesto existuje a my ji můžeme odhadnout.

Shrnující otázky

Příklad 5

Je vždycky pravda, že $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ‍?

Příklad 6

Které tvrzení lépe popisuje to, jak nám grafy pomáhají při určování limit?

(Možnost A)
Graf nám pomůže určit přibližnou hodnotu limity. Díky němu můžeme odhadnout, k jaké hodnotě $y$ ‍ se funkční hodnoty blíží, když se z obou stran přibližujeme k danému $x$ ‍.
(Možnost B)
Pomocí grafu vždy určíme přesnou hodnotu limity.

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 1

Odhadování limit z grafů

Příklady

Hodnota limity se někdy rovná funkční hodnotě.

Ale někdy jsou hodnota limity a funkční hodnota různé.

A to, že funkce není pro nějaké číslo x definovaná, ještě neznamená, že neexistuje její limita.

Na druhou stranu to, že je funkce v nějakém bodě $x$ ‍ definovaná, ještě neznamená, že limita v tomto bodě existuje.

Grafické kalkulačky jsou už pěkně chytré.

Shrnující otázky

Chceš se zapojit do diskuze?

Diferenciální počet

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 1

Příklady

Hodnota limity se někdy rovná funkční hodnotě.

Ale někdy jsou hodnota limity a funkční hodnota různé.

A to, že funkce není pro nějaké číslo x definovaná, ještě neznamená, že neexistuje její limita.

Na druhou stranu to, že je funkce v nějakém bodě x‍ definovaná, ještě neznamená, že limita v tomto bodě existuje.

Grafické kalkulačky jsou už pěkně chytré.

Shrnující otázky

Chceš se zapojit do diskuze?

Na druhou stranu to, že je funkce v nějakém bodě $x$ ‍ definovaná, ještě neznamená, že limita v tomto bodě existuje.