Určení limity usměrněním výrazu

Zkusme spočítat limitu: x jdoucí k −1 z (x plus 1) lomeno (odmocnina z (x plus 5) minus 2). Jako první si můžeme říci, že použijeme vlastnosti limit. Toto se bude rovnat limitě x jdoucí k −1 z (x plus 1) a to celé lomeno limita pro x jdoucí k −1 z odmocniny z (x plus 5) minus 2. Potom si můžeme říci: „Dobře, tento výraz nahoře, x plus 1, kdybychom měli graf funkce y rovná se x plus 1, tak by byl všude spojitý, a tedy i v bodě x rovno −1, takže tuto limitu spočítáme tak, že vyčíslíme tento výraz v bodě x rovno −1.“ Čitatel tak bude −1 plus 1. A nyní jmenovatel. Výraz odmocnina z (x plus 5) minus 2 není všude spojitý, ale je spojitý v bodě x rovno −1. Můžeme tedy udělat to samé. Za x můžeme dosadit −1. Dostaneme odmocninu z (−1 plus 5) minus 2. Čemu se limita nyní rovná? V čitateli jsme dostali 0 a ve jmenovateli… −1 plus 5 je 4, odmocnina z toho je 2 a ještě minus 2, takže opět dostaneme 0. Vyšlo nám 0 lomeno 0. Když se vám tohle stane, možná už to budete chtít vzdát. Řeknete si: „Ve jmenovateli je 0, tato limita tak možná neexistuje, možná mám hotovo, nebo ještě ne?“ Kdyby v čitateli bylo nenulové číslo, kdybychom nenulové číslo dělili 0, tak to by nebylo definované a limita by neexistovala. Když ale dostaneme 0 lomeno 0, to je tzv. neurčitý výraz, tak to nutně neznamená, že daná limita neexistuje. Jak uvidíme v tomto a mnoha dalších videích, máme jisté metody, kterými tohle řešíme. Nyní se podíváme na jednu z nich. Tato metoda spočívá v tom, že náš výraz si můžeme jistým způsobem přepsat tak, aby nám po dosazení nevyšlo 0 děleno 0. Tak si to přepišme. Vezměme tento výraz a označme ho g(x). Chceme tedy nalézt limitu g(x) pro x blížící se k −1. Můžeme tedy napsat, že g(x) se rovná x plus 1… Toto g(x) definuji jen z toho důvodu, abychom na výraz nahlíželi jako na funkci a pracovali s ním jako s funkcí a mohli přemýšlet nad podobnými funkcemi. …lomeno (x plus 5) minus 2. Vlastně odmocnina z (x plus 5) minus 2. Metoda, kterou nyní použijeme… Když máme tento neurčitý výraz a v čitateli nebo jmenovateli je odmocnina, může být užitečné zbavit se oné odmocniny. Tomu se často říká usměrnění výrazu. V tomto případě je odmocnina ve jmenovateli, takže jde o usměrnění jmenovatele. A uděláme to tak, že využijeme naše znalosti o rozdílu druhých mocnin. Víme, že (a plus b) krát (a minus b) se rovná 'a' na druhou minus 'b' na druhou. To jste se dozvěděli v kurzu algebry. Nebo kdybychom měli odmocninu z 'a' plus 'b' a vynásobili ji odmocninou z 'a' minus 'b', měli bychom odmocninu z 'a' na druhou, což je jednoduše 'a' minus 'b' na druhou. Tyto rovnosti můžeme nyní využít a zbavit se této odmocniny, a to tak, že čitatele i jmenovatele vynásobíme odmocninou z (x plus 5) plus 2. Už máme minus 2, takže musíme vynásobit výrazem s plus 2. Tak to udělejme. Máme zde odmocninu z (x plus 5) plus 2 a čitatel vynásobíme tím samým, protože nechceme změnit hodnotu výrazu. Takhle budeme násobit jedničkou. Nějaký výraz děleno ten samý výraz se rovná 1. Tady tedy bude odmocnina z (x plus 5) plus 2. Tohle se rovná x plus 1 krát odmocnina z (x plus 5) plus 2 a ve jmenovateli bude odmocnina z (x plus 5) na druhou, což je x plus 5, minus (2 na druhou), tedy minus 4. Ve jmenovateli se (x plus 5 minus 4) zjednoduší na x plus 1. Tohle je tedy jenom x plus 1. Už jste si asi všimli, že v čitateli i jmenovateli je x plus 1, takže bychom mohli krátit. g(x) je tedy rovno odmocnině z (x plus 5) plus 2. Některým z vás se tohle možná nepozdává a máte pravdu, intuice vás nezklamala. Je tento výraz určitě to samé jako to, co jsme měli předtím, než jsme pokrátili (x plus 1)? A odpovědí je, že tak jak jsem to napsal, tak to není úplně totéž. Výrazy se rovnají všude kromě bodu x rovno −1. Tento výraz je v bodě x rovno −1 definovaný. Tento výraz v bodě x rovno −1 definovaný není. Takže ani g(x) není… Když do g(x) dosadíme x rovno −1, také nedostaneme žádný výsledek. Aby byl tento výraz skutečně totéž co g(x), aby šlo o tutéž funkci, musíme dodat, že to platí pro x různá od −1. Teď už je tohle jen zjednodušení předpisu pro g(x). Je to totéž. Pro libovolné x, pro které je funkce g definovaná, vám tohle dá tu samou hodnotu. Tohle má nyní stejný definiční obor, když jsme sem přidali toto omezení, jako funkce g. Teď se možná ptáte, jak nám to vůbec pomůže. Chceme spočítat limitu pro x blížící se k −1 a i tady jsem musel připsat, že x nesmí být rovno −1. Jak to souvisí s naší limitou? Naštěstí víme, že když budeme mít jinou funkci f(x), když položíme, že f(x) se rovná odmocnina z (x plus 5) plus 2, potom víme, že f(x) je rovno g(x) ve všech bodech x kromě −1. Funkce f(x) totiž nemá toto omezení. A my víme, že když tohle platí pro nějaké dvě funkce, potom je limita pro x blížící se… Napíšeme si to. Z tohoto nám plyne, že limita f(x) pro x blížící se k −1 se rovná limitě g(x) pro x blížící se k −1. Tohle je to, co jsme chtěli spočítat, co je v zadání této úlohy. A nyní můžeme použít funkci f(x), protože se od g(x) liší jen v bodě x rovno −1. Kdybychom si udělali graf funkce g(x), v bodě x rovno −1 má odstranitelnou nespojitost… …odstranitelnou nespojitost v bodě x rovno −1. A čemu se rovná limita… Už se blížíme ke konci. Čemu se rovná limita f(x), nebo můžeme říci limita z odmocniny z (x plus 5) plus 2 pro x blížící se k −1? Tento výraz je spojitý neboli tato funkce je spojitá v bodě x rovno −1, takže stačí pouze vyčíslit pro x rovno −1. Toto je rovno odmocnině z (−1 plus 5) plus 2. Tohle je 4, odmocnina ze 4 je 2, 2 plus 2 se rovná 4. Jelikož limita f(x) pro x blížící se k −1 je rovna 4, limita g(x) pro x blížící se k −1 je také rovna 4, Pokud vám tento krok, který jsem udělal, nedává smysl, zamyslete se nad tím graficky. Tohle bude moje osa y a tohle bude osa x. Funkce g(x) vypadá nějak takto. Hned ji nakreslím. Funkce g(x) vypadá nějak takto. V bodě x rovno −1 bude mezera. Tady bude mezera. Funkce f(x) bude mít stejný graf, ale bez této mezery. Takže když chceme spočítat limitu, tak se zdá rozumné, že použijeme f(x) a zjistíme, jaká by byla její hodnota, abychom vyplnili onu mezeru v bodě x rovno −1. Snad vám tento grafický náhled trochu pomůže, a pokud vás mate, zapomeňte na něj.