Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:10:31

Limita goniometrické funkce pomocí vzorce pro dvojnásobný úhel

Transkript

Zkusme spočítat limitu: 1 plus (odmocnina ze 2) krát sin(Θ) lomeno cos(2Θ) pro Θ jdoucí k -π lomeno 4. A jako vždycky si to zkuste sami předtím, než to uděláme společně. Můžeme to udělat třeba tak, že toto se rovná: limita pro Θ blížící se k (-π lomeno 4) z 1 plus (odmocnina ze 2) krát sin(Θ), to celé je vydělené limitou pro Θ blížící se k -π lomeno 4 z cos(2Θ). A oba tyto výrazy jsou… Když to byly předpisy funkcí a my dělali graf funkce: y se rovná 1 plus (odmocnina ze 2) krát sin(Θ) nebo y se rovná cos(Θ), dostali bychom spojité funkce, obzvláště v bodě Θ rovná se -π lomeno 4. Tak bychom prostě mohli dosadit. Podívejme se, čemu se tohle bude rovnat, tento výraz vyčíslený v bodě -π lomeno 4. 1 plus (odmocnina ze 2) krát sin(-π lomeno 4) lomeno cos(-2π lomeno 4). minus π lomeno 4… sin (- π lomeno 4) je minus (odmocnina ze 2) lomená 2, takže tohle je minus (odmocnina ze 2) lomená 2. Předpokládáme, že jde o radiány, ve stupních by to bylo -45 stupňů, což je jeden z úhlů, jehož goniometrické hodnoty je dobré si pamatovat. Takže když máme… Tohle se bude rovnat 1 plus (odmocnina ze 2) krát tohle, což je -2 lomeno 2, takže tady bude -1. To je náš čitatel. Celá tato část se zjednodušila na -1, kterou vydělíme cos(-π lomeno 2), cos(-π lomeno 2), což je -90 stupňů, kosinus toho je 0. Takže nám vyšlo 0 lomeno 0. A jak jsme si říkali dříve, kdybychom měli něco nenulového děleno 0, řekli bychom, že to je nedefinované, a jsme hotovi, ale zde máme neurčitý výraz, a to neznamená, že limita neexistuje. Obvykle nám to říká, že bychom měli použít nějakou z našich metod, například upravit tento výraz tak, aby byl definovaný v našem bodě Θ, nebo aby v bodě Θ rovno -π lomeno 4 nebyl neurčitý. V dalších videích si pak ukážeme jiné metody. Takže si toto nějak algebraicky upravme. Když mám 1 plus odmocnina ze 2 krát sin(Θ) lomeno cos(2Θ), tak jak si asi dokážete představit, užitečné mi budou goniometrické identity. Zejména cos(2Θ) vypadá zajímavě. Napišme si sem vzoreček pro cos(2Θ). Víme, že cos(2Θ) se rovná cos(Θ) na druhou minus sin(Θ) na druhou, což se rovná 1 minus 2 krát (sin(Θ) na druhou), a to se rovná 2 krát (cos(Θ) na druhou) minus 1. Tyto dvě rovnosti platí díky goniometrické jedničce, což jsme si ukázali již dříve v kurzu trigonometrie na Khan Academy. Vypadá některá z rovností užitečně? Všechny tři jsou ve tvaru rozdílu druhých mocnin, takže je můžeme rozložit na součin. A vlastně chceme dosáhnout toho, že se nám pokrátí výrazy, kvůli kterým nám vychází 0 děleno 0. Kdyby se mi tohle podařilo rozložit na součin, který by obsahoval 1 plus (odmocnina ze 2) krát sin(Θ), tak bych měl dobře nakročeno. A vypadá to, že tento výraz lze rozložit jako: 1 plus odmocnina ze 2 krát sin(Θ) krát 1 minus odmocnina ze 2 krát sin(Θ). Takže použijme tohle. Cos(2Θ) je totéž co 1 minus 2 krát (sin(Θ) to celé na druhou), což je jen rozdíl druhých mocnin, a tak to můžeme rozepsat, jako ‚a‘ na druhou minus ‚b‘ na druhou, jako (a plus b) krát (a minus b). Namísto tohohle tak mohu napsat jako: 1 plus (odmocnina ze 2) krát sin(Θ) krát 1 minus (odmocnina ze 2) krát sin(Θ). Nyní můžeme vykrátit. Tohle můžeme navzájem pokrátit a výraz tak bude roven… Napíšeme si to jinou barvou. ...tento výraz se rovná: v čitateli bude 1 a ve jmenovateli zbylo 1 minus (odmocnina ze 2) krát sin(Θ). Aby se tyto výrazy skutečně rovnaly, tak kdyby šlo o předpisy dvou funkcí, měly by mít stejný definiční obor. Výraz vlevo, jak jsme už viděli, není definovaný pro Θ rovno -π lomeno 4, a tak aby tyto výrazy byly shodné, výraz vpravo tam také nesmí být definovaný. Vlastně i v dalších bodech, ale pro jednoduchost řekněme, že Θ se nerovná zápornému π lomeno 4. Představme si, že pracujeme na otevřeném intervalu okolo bodu -π lomeno 4, kdybychom chtěli být úplně přesní. Pro tento konkrétní případ řekněme, že vše provádíme na otevřeném intervalu. Na otevřeném intervalu mezi řekněme -1 a 1. Myslím, že to nám postačí, protože když máme π lomeno 4, tak po dosazení nedostaneme 0 děleno 0. Po dosazení π lomeno 4 bude tento jmenovatel nulový, a i tento jmenovatel bude po dosazení π lomeno 4 nulový, poněvadž bychom dostali 1 minus 1. Takže myslím, že vše je v pořádku, když se omezíme na tento interval, a to nevadí, protože děláme limitu v bodě, který leží v tomto otevřeném intervalu. Teď se snažím být velmi přesný, protože vám to vysvětluji a je důležité být precizní, ale když byste to řešili v testu, nezabývali byste se tolik se psaním takových detailů. Takže zatím jsme si rozmysleli, že tento výraz… Podívejme se na limitu pro Θ jdoucí k -π lomeno 4 z tohoto výrazu bez omezení, tedy z 1 lomeno 1 minus (odmocnina ze 2) krát sin(Θ). Když s tímto pracujeme na tomto otevřeném intervalu… Vlastně počkat, tohle nemusíme brát v potaz. Tento výraz je spojitý, je definovaný a spojitý v bodě Θ rovno -π lomeno 4. Takže toto se bude rovnat 1 lomeno 1 minus (odmocnina ze 2) krát sin(-π lomeno 4). Sin(-π lomeno 4). Už jsme viděli, že sin(-π lomeno 4) se rovná minus (odmocnina ze 2) lomená 2. Tohle bude 1 lomeno 1 minus (odmocnina ze 2) krát minus (odmocnina ze 2 lomená 2). Minus krát minus je plus, odmocnina ze 2 krát odmocnina ze 2 je 2, a to dělíme 2, takže tohle bude 1. Celý výraz se tak rovná jedné polovině. Rád bych, aby to bylo úplně jasné. Tento výraz není to samé co tento výraz. Rovnají se pro všechny hodnoty Θ, obzvláště když pracujeme na tomto otevřeném intervalu, kromě bodu Θ rovno -π lomeno 4. Horní výraz zde není definovaný, zatímco dolní ano. Ale jak už jsme několikrát viděli, když najdeme funkci, která se rovná našemu výrazu ve všech bodech Θ kromě bodu, ve kterém původní výraz nebyl definovaný, a tato nová funkce je v tomto bodě definovaná a spojitá, tak se tyto dvě limity budou rovnat. Pokud je tato limita rovna jedné polovině, tak je i tato limita rovna jedné polovině. Už jsem říkal v předchozích videích, že vás může svádět algebraicky upravit tohle, aby vyšlo tohle, přičemž vás nebude zajímat toto omezení, a pak dosadit minus π lomeno 4, načež dostanete tento výsledek, což je správná odpověď. Je ale důležité si uvědomit, že tyto dva výrazy nejsou to samé. Tuto úpravu nám umožňuje ten fakt, že když máme dvě funkce f a g, dvě funkce rovnající se ve všech bodech x kromě 'a', tak je limita… A já to raději napíšu takto. Rovnající se ve všech bodech x kromě ‚a‘ a f je v bodě ‚a‘ spojitá, potom limita z funkce f pro x blížící se k ‚a‘ rovna limitě g pro x blížící se k ‚a‘. Tohle už jsem říkal v několika videích a používáme to i tady. Ale jen abyste si mohli být jistí, že to máte správně, výsledek je jedna polovina.