Formální definice limity část 4: použití definice

V posledním videu jsme se seznámili s definicí limity pomocí okolí bodu, která říká, že pokud tvrdíme, že limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k ‚c‘ je rovna ‚L‘, pak to musí znamenat, podle definice, že pokud vám je zadáno libovolné kladné číslo epsilon, které nám udává požadovanou maximální vzdálenost f(x) od ‚L‘, vždy jsme schopni najít kladné číslo delta, udávající vzdálenost ‚x‘ od ‚c‘, takové, že když x náleží delta okolí c, f(x) bude v epsilonovém okolí L. Když umíme najít takové delta pro libovolné epsilon, pak můžeme říct, že ‚L‘ je opravdu limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k ‚c‘. Nejspíš si říkáte, že je to hrozně abstraktní a chtěli byste vidět, jak se to používá. A to přesně uděláme v tomto videu. Použijeme tuto definici k důkazu existence limity. Tady mám definovanou funkci f(x), která se rovná 2x pro všechna ‚x‘ bez 5. Takže f(x) se všude rovná 2x, ale pokud se ‚x‘ rovná 5, je rovna ‚x‘. Takže jsem tady klidně mohl rovnou napsat 5. f(x) je rovna 5 pro ‚x‘ rovno 5. Tady máme graf: skoro všude je to graf f(x) rovná se 2x, jen pro ‚x‘ rovno 5 to není graf 2x, ale funkční hodnota je v tomto bodě rovna 5. Kdybych se vás zeptal, jaká je limita této funkce pro x jdoucí k 5, mohli byste ji zkusit určit intuitivně. Čím víc se ‚x‘ přibližuje 5, tím víc to vypadá, že se f(x) přibližuje 10. Takže čistě intuitivně byste mohli určit, že limita f(x) pro x jdoucí k 5 je 10. Opravdu to tak vypadá. Ale my zkusíme použít definici limity pomocí okolí, abychom to opravdu dokázali. Typicky se to dělá tak, že nejdřív definujeme deltu obecně a pak se snažíme najít takovou definici, podle které jsme pro každé epsilon schopni najít vyhovující delta. Neboli, budeme se snažit definovat delta jako funkci epsilonu. snad vás moc nezmatu, možná bych neměl znova používat ‚f‘, ale chceme prostě, aby delta bylo funkcí epsilonu. Tak aby byla definovaná pro každé kladné epsilon. Takže když mi zadáte epsilon, já ho jen vložím do předpisu této funkce a ta mi vždy vyplivne vhodné delta. A pokud tedy umím pro každé epsilon najít takové delta, pro které platí tato podmínka, že pokud je ‚x‘ v delta okolí ‚c‘, f(x) bude v epsilonovém okolí ‚L‘, pak ta limita je opravdu rovna ‚L‘. Zkusme to tedy udělat. Představme si tedy že jsme v nějakém delta okolí ‚c‘. Takaže tady je 5 plus delta, tady 5 minus delta. V tomto intervalu se budeme pohybovat. Nejdříve bude ten interval obecný, potom pro delta najdeme nějaký předpis pomocí epsilon. Nyní chceme popsat všechny ‚x‘, které jsou v tomto intervalu, ale nerovnají se 5, protože nás zajímá delta okolí 5, ale ne 5 samotná. Tady máme ostrou nerovnost. To znamená v okolí ‚c‘ ale ne rovno ‚c‘. Takže to jsou všechny ‚x‘ splňující, že velikost |x-5| je menší než delta. To popisuje všechny tady ty ‚x‘. Další krok, který typicky následuje je, že se pokusíme tuto levou stranu upravit tak, aby byla podobná tomuto. Nebo spíš přesně jako toto. Pravá strana nerovnosti zůstane vyjádřená pomocí delta, takže potom, pokud se levé strany rovnají, a na pravé straně máme jednou epsilon a jednou delta, můžeme vyjádřit delta pomocí epsilon. Pokud vám to nedává smysl, vydržte, udělám to. Takže chceme aby (x-5) vypadalo víc jako tento výraz. Když se x nerovná 5, to platí pro celé delta okolí 5, bez 5, pak se f(x) rovná 2x a naše potenciální limita je rovna 10, takže když tady nějak dostaneme (2x-10), máme hotovo. Nejjednodušeji to uděláme tak, že celou nerovnici vynásobíme dvěma. 2 krát absolutní hodnota něčeho je to samé jako absolutní hodnota dvojnásobku toho něčeho. 2 krát velikost ‚a‘ je to samé jako velikost součinu 2 krát ‚a‘. Takže na levé straně dostaneme absolutní hodnotu |2x-10|, a na pravé straně dostaneme 2 krát delta. Co jsme to dostali na levé straně? Toto je f(x) pro ‚x‘ různé od 5, a toto je naše limita. Takže to můžeme přepsat jako f(x) minus L je menší než 2 krát delta pro ‚x‘ různé od 5. Toto je f(x) a tohle je přesně naše limita. Tohle je zajímavé. Tento výrok je skoro stejný jako tento výrok, liší se pouze v pravých stranách. Tady je vyjádřená pomocí epsilon, tady pomocí delta. Takže jak musíme definovat delta, aby se 2 krát delta rovnalo epsilon? Prostě definujeme… Teď definujeme delta jako funkci epsilon. Položíme 2 krát delta rovno epsilon, vydělíme obě strany 2, a dostaneme delta rovno epsilon děleno 2 Takže pokud definujeme delta jako epsilon děleno 2… Prohodím si barvy. Pokud definujeme delta jako epsilon děleno 2, Pak se toto tvrzení změní na: absolutní hodnota z f(x) minus L je menší než… a místo 2 krát delta tam bude menší než 2 krát epsilon děleno 2, takže menší než epsilon. To je řešení. Když vám někdo zadá libovolné kladné epsilon pro tuto funkci, pokud položíte delta rovno epsilon děleno 2, pak pro každé ‚x‘ v delta okolí ‚c‘ bude f(x) náležet epsilonovému okolí ‚L‘. Takže když vám někdo zadá epsilon, musí to platit pro libovolné kladné epsilon, víte, co byste dělali. Když vám někdo zadá epsilonové okolí o velikosti 0,5 kolem naši limity… L je tady a epsilon je 0,5, takže chci, aby f(x) bylo mezi 10,5 a 9,5. No a pro delta máme vzoreček, stačí, když bude rovno epsilon děleno 2, což se rovná 0,25. To nám dává interval mezi 4,75 a 5,25. Takže pokud vezmeme ‚x‘ z intervalu 4,75 a 5,25, bez 5, odpovídající funkční hodnota bude ležet mezi 9,5 a 10,5. Takže pro libovolné epsilon stačí, když aplikuji tento vzorec pro delta, a to platí pro každé reálné kladné číslo, pro libovolné zadané epsilon stačí, když vezmu delta definované tímto způsobem, a pak projdu těmito kroky, abych našel vyhovující x. Když absolutní hodnota (x minus 5) je menší než delta, pokud je delta definované tímto způsobem, což mohu udělat pro všechna epsilon, pak pro ta ‚x‘ bude platit, že jejich funkční hodnoty budou v epsilonovém okolí L.