Formální definice limity část 1: intuice

Pojďme si shrnout intuitivní chápání toho, co je to limita. Nakreslím si tady osy. Toto je moje osa y... Zkouším nakreslit svislou čáru. Toto je moje osa y. A toto je moje osa x. Zaměřme se na první kvadrant, i když nemusím... Řekněme, že tady je moje osa x a teď nakreslím funkci. Řekněme, že moje funkce vypadá nějak takto. Mohla by vypadat jakkoliv, toto vypadá dobře, takže y se rovná f(x). A kvůli pochopení pojmu řeknu, že není definovaná v tomto bodě. Nemusel jsem to dělat, můžeme najít limitu pro x blížící se bodu, kde funkce je definovaná, ale začne to být mnohem zajímavější, alespoň pro mě, a začnete chápat, kde může být limita důležitá, když funkce není definovaná v nějakém bodě. Nakreslil jsem tuto funkci tak, že není definovaná, když x je rovno ‚c‛. Způsob, jak jsme o limitě přemýšleli, je: čemu se blíží f(x), když se x blíží ‚c‛? Popřemýšlejme o tom. Když je x přiměřeně menší než ‚c‛, f(x) naší funkce, kterou jsme právě nakreslili, je zde. ,y' je rovno f(x). Když se x o kousek přiblíží, pak f(x) je právě tady. Když se x dostane ještě o kousek blíže, už je skoro u ,c', ale ne přesně ,c', pak naše f(x) je právě tady. A způsob, jak se na to dívat… Vidíme, že naše f(x) se tváří, že jak se x blíží ‚c‛, vypadá to, že naše f(x) se blíží k nějaké hodnotě přesně zde. Nakreslím to silnější čárou. A to byl jenom případ, když se x blížilo ‚c‛ zleva, od hodnot menších než ,c'. Ale co se stane, když se budeme blížit ‚c‛ od hodnot x, které jsou větší než ‚c‛? Když je x tady, f(x) je tady. Toto je f(x). Když je x tady, ještě blíže k ‚c‛, pak naše f(x) je právě tady. Když je x jen nepatrně větší než ‚c‛, tak naše f(x) je právě tady. A znova vidíte, že se to blíží té stejné hodnotě. A tuto hodnotu, ke které se f(x) blíží, když se x blíží ‚c‛, nazýváme ‚L‛ nebo limita. Budeme ji označovat jako limitu, nemusíme ji vždy označit jako ‚L‛. A způsob, jak to zapsat matematicky, je, že bychom řekli, že limita f(x), když se x blíží ‚c‛, je rovna ‚L‛. Toto je dobré pro pochopení pojmu limity a dostanete se s tím hodně daleko. Jste připraveni postoupit dál a začít počítat spoustu limit. Ale není to matematicky precizní definice limit. Je to založeno na intuici. V několika dalších videích si ukážeme matematicky přesnou definici limit. To nám dovolí dělat věci jako třeba důkaz, že limita pro x jdoucí k ‚c‛ je skutečně rovna ‚L‛.