Derivace inverzních funkcí

Řekněme, že máme dvě navzájem inverzní funkce. Máme tedy funkci f(x) a funkci g(x), která je inverzní funkcí k funkci f(x). f(x) je zase inverzní funkcí ke g(x). Pokud je vám myšlenka inverzních funkcí úplně neznámá, tak doporučuji podívat se na inverzní funkce na stránkách Khan academy. Jedna z vlastností inverzních funkcí je, že když máme g v bodě f(x), tedy inverzní funkci k f v bodě f(x), tak se to rovná x. Toto plyne přímo z definice inverzní funkce. Tady máme nějaké x, které funkce f zobrazí na nějakou hodnotu f(x). Tohle je tedy f(x). Když do funkce g, tedy inverzní funkce k f, dosadíme f(x), tak se dostaneme zase do bodu x. Tohle udělá inverzní funkce k f neboli funkce g, která je inverzní funkcí k f. Tohle je zatím jen opakování inverzních funkcí. Nyní však použijeme diferenciální počet, a to pravidlo pro derivaci složené funkce, čímž dostaneme poměrně zajímavý výsledek. Rád bych teď zderivoval obě strany této rovnice. Na levou i pravou stranu tedy použijeme operátor derivace d lomeno dx. Co dostaneme? Na levé straně použijeme vzorec pro derivaci složené funkce. Bude to derivace g podle f(x), tedy g s čárkou v bodě f(x), krát derivace f(x) podle x, tedy krát f s čárkou v bodě x. Tohle se bude rovnat čemu? Derivace podle x z x je 1. Nyní získáme náš zajímavý výsledek. Zatím jsme jen využili svých znalostí o inverzních funkcích a levou stranu jsme zderivovali pomocí vzorce pro derivaci složené funkce. Když nyní obě strany vydělíme g s čárkou v bodě f(x), co dostaneme? Dostaneme vztah mezi derivací funkce a derivací funkce k ní inverzní. Dostaneme, že f s čárkou v bodě x se rovná 1 lomeno tohle celé, tedy 1 lomeno g s čárkou v bodě f(x). Tohle je fajn vědět, protože když něco víme o derivaci funkce, můžeme něco zjistit o derivaci funkce k ní inverzní. Můžeme si ukázat, že tenhle vzorec platí pro některé známé funkce. Řekněme, že f(x) se rovná e na x. g(x) se musí rovnat inverzní funkci k f, což je... Jak vypadá inverzní funkce k e na x? Můžeme to zjistit tak, že když se y rovná e na x a chceme inverzní funkci, tak zaměníme proměnné a pak osamostatníme y. Záměnou proměnných dostaneme, že x se rovná e na y. Na obě strany použijeme přirozený logaritmus a vyjde, že ln(x) se rovná y. Inverzní funkcí k e na x je tedy přirozený logaritmus z x. Toto je také jenom opakování inverzních funkcí. Pokud je to pro vás neznámé, podívejte se na to na stránkách Khan Academy. g(x) se tedy rovná přirozený logaritmus z x. Podívejme se, zda tento vztah platí pro tyto dvě funkce. Čemu se rovná f s čárkou v bodě x? To je jeden z úžasných výsledků diferenciálního počtu. Jedním z úžasných faktů o číslu ‚e‘ je totiž to, že derivace e na x je opět e na x. V jiném videu jsme si také ukázali, že derivace přirozeného logaritmu z x je 1 lomeno x. Podívejme se nyní, zda tohle platí. Měli bychom dostat, že f s čárkou v bodě x, tedy e na x, se rovná 1 lomeno g s čárkou v bodě f(x). g s čárkou v bodě f(x)... To bude 1 lomeno f(x), přičemž f(x) je e na x, tedy 1 lomeno e na x. Je tohle pravda? Ano, 1 lomeno (1 lomeno e na x) se rovná e na x. Takže nám to souhlasí. Můžeme to udělat i obráceně, jde o navzájem inverzní funkce. Můžeme také říct, že g s čárkou v bodě x se rovná 1 lomeno f s čárkou v bodě g(x), protože jsou to navzájem inverzní funkce. Na tomhle je velmi užitečné to, že díky tomuto vztahu získáme určitou představu o tom, jak bude derivace inverzní funkce vůbec vypadat.