Derivace inverzních funkcí: z rovnice

Funkce f(x) se rovná (1 lomeno 2) krát x na třetí plus 3 krát x minus 4 a h je inverzní funkcí k f. Všimněte si, že f(−2) se rovná −14. Máme zjistit, čemu se rovná h s čárkou v bodě −14. Pokud nejste obeznámeni s tím, jak funkce a její derivace souvisí se svou inverzní funkcí a její derivací, tak vám tohle bude připadat velmi obtížné. Kdybyste totiž zkusili najít inverzní funkci k f, abyste našli funkci h, tak by bylo velmi těžké najít inverzní funkci k funkci, která je definovaná polynomem třetího stupně jako je tento. Hlavní vlastností, kterou je třeba si vybavit, nebo můžeme říct hlavním faktem, je to, že když jsou f a h navzájem inverzní, pak se h s čárkou v bodě x rovná 1 lomeno f s čárkou v bodě h(x). Tohle teď můžeme použít k tomu, abychom spočítali h s čárkou v bodě −14. Vím, co si někteří z vás teď myslí, protože přesně to bych si já myslel, kdyby na mě tohle někdo najednou vybalil, a to: „Odkud se tohle vzalo?“ Mohu vám prozradit, že to plyne z pravidla pro derivaci složené funkce. Víme, že když funkce a její inverzní funkce... Víme, že když máme funkci a funkci k ní inverzní, tak f použitá na svou inverzní funkci, tedy f v bodě h(x), se rovná x. Tohle plyne přímo z toho, že jsou to navzájem inverzní funkce. Také jsme mohli říct, že h v bodě f(x) se rovná x. Připomeňme, že f zobrazí... Funkce h zobrazí x na nějaké h(x) a funkce f tohle zobrazí zpět na původní x. Tak fungují inverzní funkce. Tohle tedy platí, protože jsou to inverzní funkce a protože podle definice takto navzájem inverzní funkce fungují. Když nyní obě strany této rovnice zderivujeme, co dostaneme? Pojďme na to. Když obě strany rovnice zderivujeme, tedy d lomeno dx levé strany a d lomeno dx pravé strany... Asi už vidíte, k čemu směřuji. Dostaneme verzi tohoto vzorce. Použijeme vzorec pro derivaci složené funkce a dostaneme f s čárkou v bodě h(x) krát h s čárkou v bodě x. Tak vypadá derivace složené funkce. Tohle se rovná derivaci x, což je 1. Když nyní obě strany vydělíme f s čárkou v bodě h(x), tak nám vyjde tento vzorec ze začátku videa. Když už jsme si tento vzorec odvodili, pojďme ho také použít. Zajímá nás hodnota funkce h s čárkou v bodě 14... Pardon, h s čárkou v bodě −14. ...což se rovná 1 lomeno f s čárkou v bodě h(−14). Víme, kolik je h(−14)? V zadání to explicitně řečené není, ale nesmíme zapomenout, že f a h jsou navzájem inverzní funkce, takže pokud se f(−2) rovná −14, tak pro funkci h to bude platit naopak. Když do funkce h dosadíme −14, dostaneme −2. h(−14) se tudíž rovná −2. Tohle víme z toho, že jsou to navzájem inverzní funkce. h(−14) se tedy rovná −2. Jen jsem prohodil tato dvě čísla, protože takto funguje inverzní funkce. Pokud f zobrazí −2 na −14, tak h zobrazí −14 zpět na −2. Nyní potřebujeme spočítat f s čárkou v bodě −2. Nejprve zjistěme, čemu se rovná f s čárkou v bodě x. f s čárkou v bodě x se rovná... Použijeme pravidlo pro derivaci mocniny. 3 krát (1 lomeno 2) je (3 lomeno 2), tohle krát x na (3 minus 1), tedy x na druhou, plus derivace 3 krát x podle x, což jsou 3... Můžeme opět říct, že jde o derivaci mocniny. Tady máme x na prvou, takže to bude 1 krát 3 krát x na nultou, a protože x na nultou je 1, vyjde nám 3. A nakonec derivace konstanty, což je 0. Tak vypadá f s čárkou v bodě x, takže f s čárkou v bodě −2 se rovná (3 lomeno 2) krát (−2) na druhou, což je +4, a ještě plus 3. Tohle se rovná (2 krát 3) plus 3 a 6 plus 3 nám dá 9. Jmenovatel tohoto zlomku je tedy 9, takže výsledná hodnota je 1 lomeno 9. Takže jsme museli... Není to typ příkladu, se kterým se budete denně potkávat. Není to typický příklad z hodin diferenciálního počtu, ale i tak je to zajímavá úloha.