Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 5: Derivování inverzních funkcíDerivace inverzních funkcí: z rovnice
Pro zadanou funkci f(x)=½x³+3x-4 najdeme derivaci její inverze v x=-14.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Funkce f(x) se rovná (1 lomeno 2)
krát x na třetí plus 3 krát x minus 4 a h je inverzní
funkcí k f. Všimněte si, že
f(−2) se rovná −14. Máme zjistit, čemu se rovná
h s čárkou v bodě −14. Pokud nejste
obeznámeni s tím, jak funkce a její derivace souvisí
se svou inverzní funkcí a její derivací, tak vám tohle bude
připadat velmi obtížné. Kdybyste totiž zkusili najít inverzní
funkci k f, abyste našli funkci h, tak by bylo velmi těžké najít
inverzní funkci k funkci, která je definovaná polynomem
třetího stupně jako je tento. Hlavní vlastností, kterou je
třeba si vybavit, nebo můžeme říct
hlavním faktem, je to, že když jsou
f a h navzájem inverzní, pak se h s čárkou v bodě x rovná
1 lomeno f s čárkou v bodě h(x). Tohle teď můžeme použít k tomu,
abychom spočítali h s čárkou v bodě −14. Vím, co si někteří
z vás teď myslí, protože přesně to bych si já myslel,
kdyby na mě tohle někdo najednou vybalil, a to: „Odkud
se tohle vzalo?“ Mohu vám prozradit, že to plyne z
pravidla pro derivaci složené funkce. Víme, že když funkce
a její inverzní funkce... Víme, že když máme funkci
a funkci k ní inverzní, tak f použitá na svou inverzní funkci,
tedy f v bodě h(x), se rovná x. Tohle plyne přímo z toho, že jsou
to navzájem inverzní funkce. Také jsme mohli říct,
že h v bodě f(x) se rovná x. Připomeňme,
že f zobrazí... Funkce h zobrazí x na nějaké h(x) a funkce
f tohle zobrazí zpět na původní x. Tak fungují
inverzní funkce. Tohle tedy platí, protože
jsou to inverzní funkce a protože podle definice takto
navzájem inverzní funkce fungují. Když nyní obě strany této rovnice
zderivujeme, co dostaneme? Pojďme na to. Když obě strany
rovnice zderivujeme, tedy d lomeno dx levé strany
a d lomeno dx pravé strany... Asi už vidíte,
k čemu směřuji. Dostaneme verzi
tohoto vzorce. Použijeme vzorec pro
derivaci složené funkce a dostaneme f s čárkou v
bodě h(x) krát h s čárkou v bodě x. Tak vypadá
derivace složené funkce. Tohle se rovná
derivaci x, což je 1. Když nyní obě strany vydělíme
f s čárkou v bodě h(x), tak nám vyjde tento
vzorec ze začátku videa. Když už jsme si tento vzorec odvodili,
pojďme ho také použít. Zajímá nás hodnota
funkce h s čárkou v bodě 14... Pardon, h s čárkou
v bodě −14. ...což se rovná 1 lomeno
f s čárkou v bodě h(−14). Víme, kolik je h(−14)? V zadání to explicitně
řečené není, ale nesmíme zapomenout, že f a h
jsou navzájem inverzní funkce, takže pokud se f(−2) rovná −14,
tak pro funkci h to bude platit naopak. Když do funkce h dosadíme −14,
dostaneme −2. h(−14) se tudíž
rovná −2. Tohle víme z toho, že jsou to
navzájem inverzní funkce. h(−14) se tedy
rovná −2. Jen jsem prohodil tato dvě čísla,
protože takto funguje inverzní funkce. Pokud f zobrazí −2 na −14,
tak h zobrazí −14 zpět na −2. Nyní potřebujeme spočítat
f s čárkou v bodě −2. Nejprve zjistěme, čemu se rovná
f s čárkou v bodě x. f s čárkou
v bodě x se rovná... Použijeme pravidlo
pro derivaci mocniny. 3 krát (1 lomeno 2) je (3 lomeno 2), tohle
krát x na (3 minus 1), tedy x na druhou, plus derivace 3 krát x
podle x, což jsou 3... Můžeme opět říct, že jde
o derivaci mocniny. Tady máme
x na prvou, takže to bude
1 krát 3 krát x na nultou, a protože x na nultou
je 1, vyjde nám 3. A nakonec derivace
konstanty, což je 0. Tak vypadá
f s čárkou v bodě x, takže f s čárkou
v bodě −2 se rovná (3 lomeno 2) krát (−2) na druhou,
což je +4, a ještě plus 3. Tohle se rovná (2 krát 3)
plus 3 a 6 plus 3 nám dá 9. Jmenovatel tohoto zlomku je tedy 9,
takže výsledná hodnota je 1 lomeno 9. Takže jsme
museli... Není to typ příkladu, se kterým
se budete denně potkávat. Není to typický příklad
z hodin diferenciálního počtu, ale i tak je to
zajímavá úloha.